Theorem climxlim 46573

Description: A converging sequence in the reals is a converging sequence in the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climxlim.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
2		climxlim.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climxlim.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climxlim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	3, 2, 1, 5	climrecl 15653	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 3, 4, 6	xlimclim 46571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
8	1, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11110  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873   ⇝ cli 15554  ~~>*clsxlim 46565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-struct 17224  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-rest 17492  df-topn 17493  df-topgen 17513  df-ordt 17572  df-ps 18639  df-tsr 18640  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-lm 23415  df-xms 24506  df-ms 24507  df-xlim 46566

This theorem is used by:  dmclimxlim  46598