Theorem climxlim 42909

Description: A converging sequence in the reals is a converging sequence in the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climxlim.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
2		climxlim.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climxlim.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climxlim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelrnda 6861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	3, 2, 1, 5	climrecl 15030	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 3, 4, 6	xlimclim 42907	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
8	1, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  ℝcr 10614  ℤcz 12062  ℤ_≥cuz 12324   ⇝ cli 14931  ~~>*clsxlim 42901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-rest 16799  df-topn 16800  df-topgen 16820  df-ordt 16877  df-ps 17926  df-tsr 17927  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-lm 21980  df-xms 23073  df-ms 23074  df-xlim 42902

This theorem is referenced by:  dmclimxlim  42934