Theorem climxlim 45354

Description: A converging sequence in the reals is a converging sequence in the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxlim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climxlim.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climxlim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climxlim.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climxlim	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climxlim.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
2		climxlim.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climxlim.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climxlim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5	4	ffvelcdmda 7093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	3, 2, 1, 5	climrecl 15568	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 3, 4, 6	xlimclim 45352	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
8	1, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  ℝcr 11144  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860   ⇝ cli 15469  ~~>*clsxlim 45346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-rest 17412  df-topn 17413  df-topgen 17433  df-ordt 17491  df-ps 18566  df-tsr 18567  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-cnfld 21302  df-top 22845  df-topon 22862  df-topsp 22884  df-bases 22898  df-lm 23182  df-xms 24275  df-ms 24276  df-xlim 45347

This theorem is referenced by:  dmclimxlim  45379