Theorem xlimclim 45795

Description: Given a sequence of reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals, if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals (see climreeq 45584). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
xlimclim.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem xlimclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xlim 45790	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
2	1	breqi 5108	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
4		xrtgioo2 45541	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
5		xlimclim.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		reex 11135	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		letop 23069	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
10		xlimclim.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		xlimclim.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		xlimclim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
13	4, 5, 7, 9, 10, 11, 12	lmss 23161	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,))) = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
15	14, 5, 11, 12	climreeq 45584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
16	3, 13, 15	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  ℝcr 11043   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  (,)cioo 13282   ⇝ cli 15426  topGenctg 17376  ordTopcordt 17438  Topctop 22756  ⇝_𝑡clm 23089  ~~>*clsxlim 45789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-ordt 17440  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-lm 23092  df-xms 24184  df-ms 24185  df-xlim 45790

This theorem is referenced by:  climxlim  45797  xlimclim2lem  45810