Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim 44151
Description: Given a sequence of reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals, if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals (see climreeq 43940). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimclim.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimclim.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
xlimclim.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem xlimclim
StepHypRef Expression
1 df-xlim 44146 . . . 4 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
21breqi 5112 . . 3 (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴))
4 xrtgioo2 43896 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
5 xlimclim.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 reex 11147 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
8 letop 22573 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
98a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
10 xlimclim.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 xlimclim.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 xlimclim.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
134, 5, 7, 9, 10, 11, 12lmss 22665 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
14 eqid 2733 . . 3 (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
1514, 5, 11, 12climreeq 43940 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
163, 13, 153bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  (,)cioo 13270   ⇝ cli 15372  topGenctg 17324  ordTopcordt 17386  Topctop 22258  β‡π‘‘clm 22593  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-rest 17309  df-topn 17310  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xms 23689  df-ms 23690  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  climxlim  44153  xlimclim2lem  44166
  Copyright terms: Public domain W3C validator