Theorem xlimclim 45747

Description: Given a sequence of reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals, if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals (see climreeq 45536). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimclim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimclim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
xlimclim.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xlimclim	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem xlimclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xlim 45742	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
2	1	breqi 5172	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
4		xrtgioo2 45492	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
5		xlimclim.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		reex 11277	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		letop 23237	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
10		xlimclim.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		xlimclim.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		xlimclim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
13	4, 5, 7, 9, 10, 11, 12	lmss 23329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
14		eqid 2740	. . 3 ⊢ (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,))) = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
15	14, 5, 11, 12	climreeq 45536	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
16	3, 13, 15	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ran crn 5701  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  ℝcr 11185   ≤ cle 11327  ℤcz 12641  ℤ_≥cuz 12905  (,)cioo 13409   ⇝ cli 15532  topGenctg 17499  ordTopcordt 17561  Topctop 22922  ⇝_𝑡clm 23257  ~~>*clsxlim 45741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-ioc 13414  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fl 13845  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-struct 17196  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-rest 17484  df-topn 17485  df-topgen 17505  df-ordt 17563  df-ps 18638  df-tsr 18639  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-cnfld 21390  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-lm 23260  df-xms 24353  df-ms 24354  df-xlim 45742

This theorem is referenced by:  climxlim  45749  xlimclim2lem  45762