Theorem psercnlem2 25583

Description: Lemma for psercn 25585. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
psercnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psercn.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		cnvimass 5989	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3		absf 15049	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
4	3	fdmi 6612	. . . . . . . 8 ⊢ dom abs = ℂ
5	2, 4	sseqtri 3957	. . . . . . 7 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
6	1, 5	eqsstri 3955	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	7	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10	8	absge0d 15156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11		psercnlem2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
12	11	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13		0re 10977	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	11	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
15	14	rpxrd 12773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		elico2 13143	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
17	13, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
18	9, 10, 12, 17	mpbir3and 1341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19		ffn 6600	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20		elpreima 6935	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
21	3, 19, 20	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
22	8, 18, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)))
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
24	23	cnbl0 23937	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
25	15, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
26	22, 25	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27		icossicc 13168	. . . 4 ⊢ (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28		imass2 6010	. . . 4 ⊢ ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
30	25, 29	eqsstrrd 3960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
31		iccssxr 13162	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
33		pserf.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34		pserf.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
35	32, 33, 34	radcnvcl 25576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
37	31, 36	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38	11	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39		df-ico 13085	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
40		df-icc 13086	. . . . . 6 ⊢ [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
41		xrlelttr 12890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
42	39, 40, 41	ixxss2 13098	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
43	37, 38, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44		imass2 6010	. . . 4 ⊢ ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
46	45, 1	sseqtrrdi 3972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
47	26, 30, 46	3jca 1127	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397  ballcbl 20584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592

This theorem is referenced by:  psercn  25585  pserdvlem2  25587  pserdv  25588