Theorem psercnlem2 25783

Description: Lemma for psercn 25785. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
psercnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psercn.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		cnvimass 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3		absf 15222	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
4	3	fdmi 6680	. . . . . . . 8 ⊢ dom abs = ℂ
5	2, 4	sseqtri 3980	. . . . . . 7 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
6	1, 5	eqsstri 3978	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	7	sselda 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15321	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10	8	absge0d 15329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11		psercnlem2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
12	11	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13		0re 11157	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	11	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
15	14	rpxrd 12958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		elico2 13328	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
17	13, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
18	9, 10, 12, 17	mpbir3and 1342	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19		ffn 6668	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20		elpreima 7008	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
21	3, 19, 20	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
22	8, 18, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)))
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
24	23	cnbl0 24137	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
25	15, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
26	22, 25	eleqtrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27		icossicc 13353	. . . 4 ⊢ (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28		imass2 6054	. . . 4 ⊢ ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
30	25, 29	eqsstrrd 3983	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
31		iccssxr 13347	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
33		pserf.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34		pserf.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
35	32, 33, 34	radcnvcl 25776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
37	31, 36	sselid 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38	11	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39		df-ico 13270	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
40		df-icc 13271	. . . . . 6 ⊢ [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
41		xrlelttr 13075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
42	39, 40, 41	ixxss2 13283	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
43	37, 38, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44		imass2 6054	. . . 4 ⊢ ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
46	45, 1	sseqtrrdi 3995	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
47	26, 30, 46	3jca 1128	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   “ cima 5636   ∘ ccom 5637   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕ₀cn0 12413  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ⇝ cli 15366  Σcsu 15570  ballcbl 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791

This theorem is referenced by:  psercn  25785  pserdvlem2  25787  pserdv  25788