MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 26316
Description: Lemma for psercn 26318. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ∧ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑀 𝑧 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 6074 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
3 absf 15290 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
43fdmi 6723 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
52, 4sseqtri 4013 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
61, 5eqsstri 4011 . . . . . 6 𝑆 βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
87sselda 3977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
98abscld 15389 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
108absge0d 15397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)
13 0re 11220 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 13023 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 13394 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1339 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6711 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
20 elpreima 7053 . . . . 5 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2726 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2423cnbl0 24645 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀))
27 icossicc 13419 . . . 4 (0[,)𝑀) βŠ† (0[,]𝑀)
28 imass2 6095 . . . 4 ((0[,)𝑀) βŠ† (0[,]𝑀) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstrrd 4016 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 13413 . . . . . 6 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 26308 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sselid 3975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 13336 . . . . . 6 [,) = (𝑒 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑀 ∈ ℝ* ∣ (𝑒 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑣)})
40 df-icc 13337 . . . . . 6 [,] = (𝑒 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑀 ∈ ℝ* ∣ (𝑒 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑣)})
41 xrlelttr 13141 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) β†’ 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 13349 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) β†’ (0[,]𝑀) βŠ† (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (0[,]𝑀) βŠ† (0[,)𝑅))
44 imass2 6095 . . . 4 ((0[,]𝑀) βŠ† (0[,)𝑅) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
4645, 1sseqtrrdi 4028 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† 𝑆)
4726, 30, 463jca 1125 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ∧ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„+crp 12980  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638  ballcbl 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235
This theorem is referenced by:  psercn  26318  pserdvlem2  26320  pserdv  26321
  Copyright terms: Public domain W3C validator