Theorem psercnlem2 26334

Description: Lemma for psercn 26336. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
psercnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psercn.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		cnvimass 6053	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3		absf 15304	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
4	3	fdmi 6699	. . . . . . . 8 ⊢ dom abs = ℂ
5	2, 4	sseqtri 3995	. . . . . . 7 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
6	1, 5	eqsstri 3993	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	7	sselda 3946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10	8	absge0d 15413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11		psercnlem2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
12	11	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13		0re 11176	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	11	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
15	14	rpxrd 12996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		elico2 13371	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
17	13, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
18	9, 10, 12, 17	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19		ffn 6688	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20		elpreima 7030	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
21	3, 19, 20	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
22	8, 18, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)))
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
24	23	cnbl0 24661	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
25	15, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
26	22, 25	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27		icossicc 13397	. . . 4 ⊢ (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28		imass2 6073	. . . 4 ⊢ ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
30	25, 29	eqsstrrd 3982	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
31		iccssxr 13391	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
33		pserf.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34		pserf.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
35	32, 33, 34	radcnvcl 26326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
37	31, 36	sselid 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38	11	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39		df-ico 13312	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
40		df-icc 13313	. . . . . 6 ⊢ [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
41		xrlelttr 13116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
42	39, 40, 41	ixxss2 13325	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
43	37, 38, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44		imass2 6073	. . . 4 ⊢ ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
46	45, 1	sseqtrrdi 3988	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
47	26, 30, 46	3jca 1128	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   “ cima 5641   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  supcsup 9391  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   · cmul 11073  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  ℝ⁺crp 12951  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  abscabs 15200   ⇝ cli 15450  Σcsu 15652  ballcbl 21251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259

This theorem is referenced by:  psercn  26336  pserdvlem2  26338  pserdv  26339