Theorem psercnlem2 25488

Description: Lemma for psercn 25490. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
psercnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psercn.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		cnvimass 5978	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3		absf 14977	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
4	3	fdmi 6596	. . . . . . . 8 ⊢ dom abs = ℂ
5	2, 4	sseqtri 3953	. . . . . . 7 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
6	1, 5	eqsstri 3951	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	7	sselda 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15076	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10	8	absge0d 15084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11		psercnlem2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
12	11	simp2d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	11	simp1d 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
15	14	rpxrd 12702	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		elico2 13072	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
17	13, 15, 16	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
18	9, 10, 12, 17	mpbir3and 1340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19		ffn 6584	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20		elpreima 6917	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
21	3, 19, 20	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
22	8, 18, 21	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)))
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
24	23	cnbl0 23843	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
25	15, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
26	22, 25	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27		icossicc 13097	. . . 4 ⊢ (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28		imass2 5999	. . . 4 ⊢ ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
30	25, 29	eqsstrrd 3956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
31		iccssxr 13091	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
33		pserf.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34		pserf.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
35	32, 33, 34	radcnvcl 25481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
37	31, 36	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38	11	simp3d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39		df-ico 13014	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
40		df-icc 13015	. . . . . 6 ⊢ [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
41		xrlelttr 12819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
42	39, 40, 41	ixxss2 13027	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
43	37, 38, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44		imass2 5999	. . . 4 ⊢ ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
46	45, 1	sseqtrrdi 3968	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
47	26, 30, 46	3jca 1126	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   “ cima 5583   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  seqcseq 13649  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325  ballcbl 20497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505

This theorem is referenced by:  psercn  25490  pserdvlem2  25492  pserdv  25493