MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 24469
Description: Lemma for psercn 24471. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 5667 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 14362 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6233 . . . . . . . 8 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 3797 . . . . . . 7 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 3795 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3761 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 14460 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
108absge0d 14468 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1173 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1172 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 12071 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 12439 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 581 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1442 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6223 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20 elpreima 6527 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 578 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2765 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2423cnbl0 22856 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2846 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27 icossicc 12463 . . . 4 (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28 imass2 5683 . . . 4 ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstr3d 3800 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 12458 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24462 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3759 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1174 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 12383 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
40 df-icc 12384 . . . . . 6 [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤𝑣)})
41 xrlelttr 12189 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝑀𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 12396 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44 imass2 5683 . . . 4 ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4645, 1syl6sseqr 3812 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
4726, 30, 463jca 1158 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  wss 3732   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  dom cdm 5277  cima 5280  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  0cn0 11538  +crp 12028  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14259  cli 14500  Σcsu 14701  ballcbl 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014
This theorem is referenced by:  psercn  24471  pserdvlem2  24473  pserdv  24474
  Copyright terms: Public domain W3C validator