MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 26379
Description: Lemma for psercn 26381. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ∧ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑀 𝑧 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 6080 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
3 absf 15316 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
43fdmi 6729 . . . . . . . 8 dom abs = β„‚
52, 4sseqtri 4009 . . . . . . 7 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
61, 5eqsstri 4007 . . . . . 6 𝑆 βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
87sselda 3972 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
98abscld 15415 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
108absge0d 15423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)
13 0re 11246 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 13049 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 13420 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1339 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6717 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
20 elpreima 7062 . . . . 5 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2725 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2423cnbl0 24708 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀))
27 icossicc 13445 . . . 4 (0[,)𝑀) βŠ† (0[,]𝑀)
28 imass2 6101 . . . 4 ((0[,)𝑀) βŠ† (0[,]𝑀) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstrrd 4012 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 13439 . . . . . 6 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 26371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sselid 3970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 13362 . . . . . 6 [,) = (𝑒 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑀 ∈ ℝ* ∣ (𝑒 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑣)})
40 df-icc 13363 . . . . . 6 [,] = (𝑒 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑀 ∈ ℝ* ∣ (𝑒 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑣)})
41 xrlelttr 13167 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) β†’ 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 13375 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) β†’ (0[,]𝑀) βŠ† (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (0[,]𝑀) βŠ† (0[,)𝑅))
44 imass2 6101 . . . 4 ((0[,]𝑀) βŠ† (0[,)𝑅) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
4645, 1sseqtrrdi 4024 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† 𝑆)
4726, 30, 463jca 1125 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑀) βŠ† (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) ∧ (β—‘abs β€œ (0[,]𝑀)) βŠ† 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  supcsup 9463  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•0cn0 12502  β„+crp 13006  [,)cico 13358  [,]cicc 13359  seqcseq 13998  β†‘cexp 14058  abscabs 15213   ⇝ cli 15460  Ξ£csu 15664  ballcbl 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278
This theorem is referenced by:  psercn  26381  pserdvlem2  26383  pserdv  26384
  Copyright terms: Public domain W3C validator