Theorem psercnlem2 26545

Description: Lemma for psercn 26547. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
psercnlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psercn.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		cnvimass 6075	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3		absf 15379	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
4	3	fdmi 6707	. . . . . . . 8 ⊢ dom abs = ℂ
5	2, 4	sseqtri 3987	. . . . . . 7 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
6	1, 5	eqsstri 3985	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	7	sselda 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10	8	absge0d 15488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11		psercnlem2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
12	11	simp2d 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	11	simp1d 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
15	14	rpxrd 13052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		elico2 13428	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
17	13, 15, 16	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
18	9, 10, 12, 17	mpbir3and 1359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19		ffn 6695	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20		elpreima 7043	. . . . 5 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
21	3, 19, 20	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
22	8, 18, 21	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑀)))
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
24	23	cnbl0 24891	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
25	15, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
26	22, 25	eleqtrd 2867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27		icossicc 13454	. . . 4 ⊢ (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28		imass2 6095	. . . 4 ⊢ ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
29	27, 28	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
30	25, 29	eqsstrrd 3974	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)))
31		iccssxr 13448	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
33		pserf.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34		pserf.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
35	32, 33, 34	radcnvcl 26538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
36	35	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
37	31, 36	sselid 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38	11	simp3d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39		df-ico 13369	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
40		df-icc 13370	. . . . . 6 ⊢ [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑣)})
41		xrlelttr 13172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
42	39, 40, 41	ixxss2 13382	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
43	37, 38, 42	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44		imass2 6095	. . . 4 ⊢ ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
46	45, 1	sseqtrrdi 3980	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
47	26, 30, 46	3jca 1144	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (◡abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652   “ cima 5655   ∘ ccom 5656   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12495  ℝ⁺crp 13007  [,)cico 13365  [,]cicc 13366  seqcseq 14028  ↑cexp 14088  abscabs 15275   ⇝ cli 15525  Σcsu 15727  ballcbl 21469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xadd 13129  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477

This theorem is referenced by:  psercn  26547  pserdvlem2  26549  pserdv  26550