Theorem bpos1 16310

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for N <_ 6 4, using the prime sequence 2 , 3 , 5 , 7 , 1 3 , 2 3 , 4 3 , 8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	|- ( ( N e. NN /\ N <_ ; 6 4 ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9975	. . 3 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		ax-1 6	. . . 4 |- ( E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
3		6nn0 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 6 e. NN0
4		4nn0 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. NN0
5	3, 4	deccl 9802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ; 6 4 e. NN0
6	5	nn0rei 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 6 4 e. RR
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 6 4 e. RR )
8		8nn0 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 e. NN0
9		3nn0 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN0
10	8, 9	deccl 9802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ; 8 3 e. NN0
11	10	nn0rei 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 8 3 e. RR
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 8 3 e. RR )
13		eluzelre 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> N e. RR )
14		4lt10 9928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 < ; 1 0
15		6lt8 9507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 9821	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 6 4 < ; 8 3
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 6 4 < ; 8 3 )
18		eluzle 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 8 3 <_ N )
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 6 4 < N )
20	5	nn0zi 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ; 6 4 e. ZZ
21		eluzelz 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> N e. ZZ )
22		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (; 6 4 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> (; 6 4 < N <-> -. N <_ ; 6 4 ) )
23	20, 21, 22	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> (; 6 4 < N <-> -. N <_ ; 6 4 ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> -. N <_ ; 6 4 )
25	24	pm2.21d 628	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
26		83prm 13266	. . . . . . . . . . 11 |- ; 8 3 e. Prime
27	4, 9	deccl 9802	. . . . . . . . . . 11 |- ; 4 3 e. NN0
28		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
29		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 4 3 = ; 4 3
30		4t2e8 9473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 x. 2 ) = 8
31		3t2e6 9470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 x. 2 ) = 6
32	28, 4, 9, 29, 3, 30, 31	decmul1 9856	. . . . . . . . . . 11 |- (; 4 3 x. 2 ) = ; 8 6
33		3lt10 9929	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < ; 1 0
34		4lt8 9509	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 < 8
35	4, 8, 9, 9, 33, 34	decltc 9821	. . . . . . . . . . 11 |- ; 4 3 < ; 8 3
36		6nn 9481	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
37		3lt6 9497	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 < 6
38	8, 9, 36, 37	declt 9820	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 8 3 < ; 8 6
39	38	orci 743	. . . . . . . . . . 11 |- (; 8 3 < ; 8 6 \/ ; 8 3 = ; 8 6 )
40	2, 25, 26, 27, 32, 35, 39	bpos1lem 16309	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 4 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
41		43prm 13265	. . . . . . . . . 10 |- ; 4 3 e. Prime
42	28, 9	deccl 9802	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 3 e. NN0
43		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ; 2 3 = ; 2 3
44		2t2e4 9468	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
45	28, 28, 9, 43, 3, 44, 31	decmul1 9856	. . . . . . . . . 10 |- (; 2 3 x. 2 ) = ; 4 6
46		2lt4 9489	. . . . . . . . . . 11 |- 2 < 4
47	28, 4, 9, 9, 33, 46	decltc 9821	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 3 < ; 4 3
48	4, 9, 36, 37	declt 9820	. . . . . . . . . . 11 |- ; 4 3 < ; 4 6
49	48	orci 743	. . . . . . . . . 10 |- (; 4 3 < ; 4 6 \/ ; 4 3 = ; 4 6 )
50	2, 40, 41, 42, 45, 47, 49	bpos1lem 16309	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 2 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
51		23prm 13262	. . . . . . . . 9 |- ; 2 3 e. Prime
52		1nn0 9590	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
53	52, 9	deccl 9802	. . . . . . . . 9 |- ; 1 3 e. NN0
54		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 3 = ; 1 3
55		2cn 9384	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
56	55	mullidi 8335	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 2 ) = 2
57	28, 52, 9, 54, 3, 56, 31	decmul1 9856	. . . . . . . . 9 |- (; 1 3 x. 2 ) = ; 2 6
58		1lt2 9485	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
59	52, 28, 9, 9, 33, 58	decltc 9821	. . . . . . . . 9 |- ; 1 3 < ; 2 3
60	28, 9, 36, 37	declt 9820	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 3 < ; 2 6
61	60	orci 743	. . . . . . . . 9 |- (; 2 3 < ; 2 6 \/ ; 2 3 = ; 2 6 )
62	2, 50, 51, 53, 57, 59, 61	bpos1lem 16309	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
63		13prm 13259	. . . . . . . 8 |- ; 1 3 e. Prime
64		7nn0 9596	. . . . . . . 8 |- 7 e. NN0
65		7t2e14 9901	. . . . . . . 8 |- ( 7 x. 2 ) = ; 1 4
66		1nn 9324	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
67		7lt10 9925	. . . . . . . . 9 |- 7 < ; 1 0
68	66, 9, 64, 67	declti 9830	. . . . . . . 8 |- 7 < ; 1 3
69		4nn 9479	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
70		3lt4 9488	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
71	52, 9, 69, 70	declt 9820	. . . . . . . . 9 |- ; 1 3 < ; 1 4
72	71	orci 743	. . . . . . . 8 |- (; 1 3 < ; 1 4 \/ ; 1 3 = ; 1 4 )
73	2, 62, 63, 64, 65, 68, 72	bpos1lem 16309	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 7 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
74		7prm 13254	. . . . . . 7 |- 7 e. Prime
75		5nn0 9594	. . . . . . 7 |- 5 e. NN0
76		5t2e10 9892	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
77		5lt7 9501	. . . . . . 7 |- 5 < 7
78	67	orci 743	. . . . . . 7 |- ( 7 < ; 1 0 \/ 7 = ; 1 0 )
79	2, 73, 74, 75, 76, 77, 78	bpos1lem 16309	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
80		5prm 13252	. . . . . 6 |- 5 e. Prime
81		3lt5 9492	. . . . . 6 |- 3 < 5
82		5lt6 9495	. . . . . . 7 |- 5 < 6
83	82	orci 743	. . . . . 6 |- ( 5 < 6 \/ 5 = 6 )
84	2, 79, 80, 9, 31, 81, 83	bpos1lem 16309	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
85		3prm 12931	. . . . 5 |- 3 e. Prime
86		2lt3 9486	. . . . 5 |- 2 < 3
87	70	orci 743	. . . . 5 |- ( 3 < 4 \/ 3 = 4 )
88	2, 84, 85, 28, 44, 86, 87	bpos1lem 16309	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
89		2prm 12930	. . . 4 |- 2 e. Prime
90		eqid 2238	. . . . 5 |- 2 = 2
91	90	olci 744	. . . 4 |- ( 2 < 2 \/ 2 = 2 )
92	2, 88, 89, 52, 56, 58, 91	bpos1lem 16309	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
93	1, 92	sylbi 121	. 2 |- ( N e. NN -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
94	93	imp 124	1 |- ( ( N e. NN /\ N <_ ; 6 4 ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   4c4 9366   5c5 9367   6c6 9368   7c7 9369   8c8 9370   ZZcz 9655  ;cdc 9788   ZZ>=cuz 9937   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  bpos  16320