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Theorem rpexp 11214
Description: If two numbers 𝐴 and 𝐵 are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexp ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem rpexp
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0exp 9955 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
21oveq1d 5649 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) gcd 0) = (0 gcd 0))
32eqeq1d 2096 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
4 oveq1 5641 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
5 oveq12 5643 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) = (0↑𝑁) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
64, 5sylan 277 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
76eqeq1d 2096 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((0↑𝑁) gcd 0) = 1))
8 oveq12 5643 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
98eqeq1d 2096 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
107, 9bibi12d 233 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1)))
113, 10syl5ibrcom 155 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
12113ad2ant3 966 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13 exprmfct 11201 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵))
14 simpl1 946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15 simpl3 948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 8696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 zexpcl 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1814, 16, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1918adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
20 simpl2 947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2120adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
22 gcddvds 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2319, 21, 22syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2423simpld 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
25 prmz 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2625adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
27 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2814zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 expeq0 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3028, 15, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3130anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3227, 31mtbird 633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0))
33 gcdn0cl 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3418, 20, 32, 33syl21anc 1173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3534nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
37 dvdstr 10915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3826, 36, 19, 37syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3924, 38mpan2d 419 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
40 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
41 simpll1 982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4215adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
43 prmdvdsexp 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4539, 44sylibd 147 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐴))
4623simprd 112 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
47 dvdstr 10915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4826, 36, 21, 47syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4946, 48mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
5045, 49jcad 301 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
51 dvdsgcd 11083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5226, 41, 21, 51syl3anc 1174 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
53 nprmdvds1 11203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
54 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
5554notbid 627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
5653, 55syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5756necon2ad 2312 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5857adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5950, 52, 583syld 56 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6059rexlimdva 2489 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
61 gcdn0cl 11036 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
62613adantl3 1101 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
63 eluz2b3 9060 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6463baib 866 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6562, 64syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6660, 65sylibrd 167 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
6713, 66syl5 32 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
68 exprmfct 11201 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
69 gcddvds 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7041, 21, 69syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7170simpld 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
72 iddvdsexp 10902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7341, 42, 72syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7462nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
7574adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
76 dvdstr 10915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴𝐴 ∥ (𝐴𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)))
7775, 41, 19, 76syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴𝐴 ∥ (𝐴𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)))
7871, 73, 77mp2and 424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
79 dvdstr 10915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8026, 75, 19, 79syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8178, 80mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8270simprd 112 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
83 dvdstr 10915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8426, 75, 21, 83syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8582, 84mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
8681, 85jcad 301 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵)))
87 dvdsgcd 11083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
8826, 19, 21, 87syl3anc 1174 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
89 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
9089notbid 627 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
9153, 90syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
9291necon2ad 2312 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9392adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9486, 88, 933syld 56 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9594rexlimdva 2489 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
96 eluz2b3 9060 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9796baib 866 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9834, 97syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9995, 98sylibrd 167 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
10068, 99syl5 32 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
10167, 100impbid 127 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
102101, 98, 653bitr3d 216 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
103 simp1 943 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
104 simp3 945 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
105104nnnn0d 8696 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
106103, 105, 17syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
107 simp2 944 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
108106, 107gcdcld 11042 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
109108nn0zd 8836 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
110 1zzd 8747 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
111 zdceq 8792 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1)
112109, 110, 111syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1)
113103, 107gcdcld 11042 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
114113nn0zd 8836 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
115 zdceq 8792 . . . . . . 7 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
116114, 110, 115syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
117 nebidc 2335 . . . . . 6 (DECID ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (DECID (𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))))
118112, 116, 117sylc 61 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1)))
119118adantr 270 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1)))
120102, 119mpbird 165 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
121120ex 113 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
122 gcdmndc 11022 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
123 exmiddc 782 . . . 4 (DECID (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
124122, 123syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1251243adant3 963 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
12612, 121, 125mpjaod 673 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  wrex 2360   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329  1c1 7330  cn 8394  2c2 8444  0cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  cexp 9919  cdvds 10878   gcd cgcd 11020  cprime 11171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879  df-gcd 11021  df-prm 11172
This theorem is referenced by:  rpexp1i  11215  phiprmpw  11280
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