Theorem edginwlkd 16066

Description: The value of the edge function for an index of an edge within a walk is an edge. (Contributed by AV, 2-Jan-2021.) (Revised by AV, 9-Dec-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
edginwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
edginwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
edginwlkd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
edginwlkd.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
edginwlkd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
edginwlkd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
edginwlkd	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem edginwlkd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edginwlkd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
2		edginwlkd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
3		edginwlkd.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4		wrdsymbcl 11085	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝐾) ∈ dom 𝐼)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ dom 𝐼)
6		fvelrn 5766	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝐾) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
7	1, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
8		edginwlk.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (Edg‘𝐺))
10		edginwlkd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
11		edgvalg 15860	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
13		edginwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
14	13	eqcomi 2233	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
15	14	rneqi 4952	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼)
17	9, 12, 16	3eqtrd 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ran 𝐼)
18	7, 17	eleqtrrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  dom cdm 4719  ran crn 4720  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  0cc0 7999  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997  Word cword 11071  iEdgciedg 15814  Edgcedg 15858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-edgf 15806  df-iedg 15816  df-edg 15859

This theorem is referenced by:  upgredginwlk  16067