Theorem recncf 15377

Description: Real part is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recncf	⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)

Proof of Theorem recncf

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 11476	. 2 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		recn2 11938	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦))
3	2	rgen2 2619	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦)
4		ssid 3248	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		ax-resscn 8167	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		elcncf2 15365	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦))))
7	4, 5, 6	mp2an 426	. 2 ⊢ (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦)))
8	1, 3, 7	mpbir2an 951	1 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074   < clt 8257   − cmin 8393  ℝ⁺crp 9931  ℜcre 11461  abscabs 11618  –cn→ccncf 15361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-rp 9932  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-cncf 15362

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15401