ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flltdivnn0lt GIF version

Theorem flltdivnn0lt 10028
Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flltdivnn0lt ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt
StepHypRef Expression
1 simp1 964 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
21nn0zd 9125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 simp3 966 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ ℕ)
4 znq 9368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
54flqcld 10001 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
62, 3, 5syl2anc 406 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
76adantr 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
87zred 9127 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
92adantr 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
103adantr 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
11 qre 9369 . . . . 5 ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
124, 11syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 406 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
14 simp2 965 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 9125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 znq 9368 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ)
18 qre 9369 . . . . 5 ((𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
1917, 18syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
2016, 10, 19syl2anc 406 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
21 fldivnn0le 10027 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
22213adant2 983 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
2322adantr 272 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
24 simpr 109 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
25 nn0re 8940 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
26 nn0re 8940 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27 nnre 8687 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
28 nngt0 8705 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
2927, 28jca 302 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
3025, 26, 293anim123i 1149 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
3130adantr 272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
32 ltdiv1 8586 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
3331, 32syl 14 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
3424, 33mpbid 146 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
358, 13, 20, 23, 34lelttrd 7851 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
3635ex 114 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cr 7583  0cc0 7584   < clt 7764  cle 7765   / cdiv 8395  cn 8680  0cn0 8931  cz 9008  cq 9363  cfl 9992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator