Theorem flltdivnn0lt 10303

Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
flltdivnn0lt	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		simp3 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ ℕ)
4		znq 9623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
6	2, 3, 5	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
8	7	zred 9374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
11		qre 9624	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
14		simp2 998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9372	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		znq 9623	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ)
18		qre 9624	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
20	16, 10, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
21		fldivnn0le 10302	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
22	21	3adant2 1016	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
24		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
25		nn0re 9184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
26		nn0re 9184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27		nnre 8925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
28		nngt0 8943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
29	27, 28	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
30	25, 26, 29	3anim123i 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
32		ltdiv1 8824	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
33	31, 32	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
34	24, 33	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
35	8, 13, 20, 23, 34	lelttrd 8081	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
36	35	ex 115	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℝcr 7809  0cc0 7810   < clt 7991   ≤ cle 7992   / cdiv 8628  ℕcn 8918  ℕ₀cn0 9175  ℤcz 9252  ℚcq 9618  ⌊cfl 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269

This theorem is referenced by: (None)