Theorem flltdivnn0lt 10411

Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
flltdivnn0lt	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ ℕ)
4		znq 9715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
6	2, 3, 5	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
8	7	zred 9465	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
11		qre 9716	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
13	9, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
14		simp2 1000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9463	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		znq 9715	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ)
18		qre 9716	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
20	16, 10, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
21		fldivnn0le 10410	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
22	21	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
24		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
25		nn0re 9275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
26		nn0re 9275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27		nnre 9014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
28		nngt0 9032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
29	27, 28	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
30	25, 26, 29	3anim123i 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
32		ltdiv1 8912	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
33	31, 32	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
34	24, 33	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
35	8, 13, 20, 23, 34	lelttrd 8168	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
36	35	ex 115	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   < clt 8078   ≤ cle 8079   / cdiv 8716  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℚcq 9710  ⌊cfl 10375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377

This theorem is referenced by: (None)