ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flltdivnn0lt GIF version

Theorem flltdivnn0lt 10203
Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flltdivnn0lt ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
21nn0zd 9284 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 simp3 984 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ ℕ)
4 znq 9533 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
54flqcld 10176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
62, 3, 5syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
76adantr 274 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℤ)
87zred 9286 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
92adantr 274 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
103adantr 274 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
11 qre 9534 . . . . 5 ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
124, 11syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
139, 10, 12syl2anc 409 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
14 simp2 983 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 9284 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 274 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 znq 9533 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ)
18 qre 9534 . . . . 5 ((𝑁 / 𝐿) ∈ ℚ → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
1917, 18syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
2016, 10, 19syl2anc 409 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
21 fldivnn0le 10202 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
22213adant2 1001 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
2322adantr 274 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
24 simpr 109 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
25 nn0re 9099 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
26 nn0re 9099 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27 nnre 8840 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
28 nngt0 8858 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
2927, 28jca 304 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
3025, 26, 293anim123i 1167 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
3130adantr 274 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
32 ltdiv1 8739 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
3331, 32syl 14 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
3424, 33mpbid 146 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
358, 13, 20, 23, 34lelttrd 8000 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
3635ex 114 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wcel 2128   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  cr 7731  0cc0 7732   < clt 7912  cle 7913   / cdiv 8545  cn 8833  0cn0 9090  cz 9167  cq 9528  cfl 10167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator