ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnegmod GIF version

Theorem qnegmod 10382
Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qnegmod ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (-๐ด mod ๐‘) = ((๐‘ โˆ’ ๐ด) mod ๐‘))

Proof of Theorem qnegmod
StepHypRef Expression
1 qcn 9647 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
213ad2ant2 1020 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 qcn 9647 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
433ad2ant1 1019 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4negsubd 8287 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐‘ + -๐ด) = (๐‘ โˆ’ ๐ด))
65eqcomd 2193 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = (๐‘ + -๐ด))
76oveq1d 5903 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐ด) mod ๐‘) = ((๐‘ + -๐ด) mod ๐‘))
82mulid2d 7989 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
98oveq1d 5903 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((1 ยท ๐‘) + -๐ด) = (๐‘ + -๐ด))
109oveq1d 5903 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (((1 ยท ๐‘) + -๐ด) mod ๐‘) = ((๐‘ + -๐ด) mod ๐‘))
11 1cnd 7986 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1211, 2mulcld 7991 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (1 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
13 qnegcl 9649 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -๐ด โˆˆ โ„š)
14 qcn 9647 . . . . . . 7 (-๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
16153ad2ant1 1019 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1712, 16addcomd 8121 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((1 ยท ๐‘) + -๐ด) = (-๐ด + (1 ยท ๐‘)))
1817oveq1d 5903 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (((1 ยท ๐‘) + -๐ด) mod ๐‘) = ((-๐ด + (1 ยท ๐‘)) mod ๐‘))
19133ad2ant1 1019 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„š)
20 1zzd 9293 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
21 simp2 999 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
22 simp3 1000 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘)
23 modqcyc 10372 . . . 4 (((-๐ด โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((-๐ด + (1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (-๐ด mod ๐‘))
2419, 20, 21, 22, 23syl22anc 1249 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((-๐ด + (1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (-๐ด mod ๐‘))
2518, 24eqtrd 2220 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (((1 ยท ๐‘) + -๐ด) mod ๐‘) = (-๐ด mod ๐‘))
267, 10, 253eqtr2rd 2227 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (-๐ด mod ๐‘) = ((๐‘ โˆ’ ๐ด) mod ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005   โˆ’ cmin 8141  -cneg 8142  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632   mod cmo 10335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336
This theorem is referenced by:  m1modnnsub1  10383
  Copyright terms: Public domain W3C validator