Theorem qnegmod 10304

Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qnegmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem qnegmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9572	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		qcn 9572	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	negsubd 8215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
6	5	eqcomd 2171	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
7	6	oveq1d 5857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
8	2	mulid2d 7917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
9	8	oveq1d 5857	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
10	9	oveq1d 5857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11		1cnd 7915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
12	11, 2	mulcld 7919	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
13		qnegcl 9574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
14		qcn 9572	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant1 1008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → -𝐴 ∈ ℂ)
17	12, 16	addcomd 8049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
18	17	oveq1d 5857	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
19	13	3ad2ant1 1008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → -𝐴 ∈ ℚ)
20		1zzd 9218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
21		simp2 988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
22		simp3 989	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
23		modqcyc 10294	. . . 4 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
24	19, 20, 21, 22, 23	syl22anc 1229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
25	18, 24	eqtrd 2198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
26	7, 10, 25	3eqtr2rd 2205	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   − cmin 8069  -cneg 8070  ℤcz 9191  ℚcq 9557   mod cmo 10257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-mod 10258

This theorem is referenced by:  m1modnnsub1  10305