Theorem qnegmod 10808

Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qnegmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem qnegmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 10036	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1050	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		qcn 10036	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	negsubd 8643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
6	5	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
7	6	oveq1d 6100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
8	2	mullidd 8344	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
9	8	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
10	9	oveq1d 6100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11		1cnd 8342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
12	11, 2	mulcld 8346	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
13		qnegcl 10038	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
14		qcn 10036	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → -𝐴 ∈ ℂ)
17	12, 16	addcomd 8477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
18	17	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
19	13	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → -𝐴 ∈ ℚ)
20		1zzd 9673	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
21		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
22		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
23		modqcyc 10798	. . . 4 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
24	19, 20, 21, 22, 23	syl22anc 1279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
25	18, 24	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
26	7, 10, 25	3eqtr2rd 2278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497  -cneg 8498  ℤcz 9646  ℚcq 10021   mod cmo 10761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-q 10022  df-rp 10057  df-fl 10707  df-mod 10762

This theorem is used by:  m1modnnsub1  10809  gausslemma2dlem5a  16196