ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnegmod GIF version

Theorem qnegmod 10387
Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qnegmod ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (-๐ด mod ๐‘) = ((๐‘ โˆ’ ๐ด) mod ๐‘))

Proof of Theorem qnegmod
StepHypRef Expression
1 qcn 9652 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
213ad2ant2 1021 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 qcn 9652 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
433ad2ant1 1020 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4negsubd 8292 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐‘ + -๐ด) = (๐‘ โˆ’ ๐ด))
65eqcomd 2195 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐ด) = (๐‘ + -๐ด))
76oveq1d 5906 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐ด) mod ๐‘) = ((๐‘ + -๐ด) mod ๐‘))
82mulid2d 7994 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
98oveq1d 5906 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((1 ยท ๐‘) + -๐ด) = (๐‘ + -๐ด))
109oveq1d 5906 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (((1 ยท ๐‘) + -๐ด) mod ๐‘) = ((๐‘ + -๐ด) mod ๐‘))
11 1cnd 7991 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1211, 2mulcld 7996 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (1 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
13 qnegcl 9654 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -๐ด โˆˆ โ„š)
14 qcn 9652 . . . . . . 7 (-๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
16153ad2ant1 1020 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1712, 16addcomd 8126 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((1 ยท ๐‘) + -๐ด) = (-๐ด + (1 ยท ๐‘)))
1817oveq1d 5906 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (((1 ยท ๐‘) + -๐ด) mod ๐‘) = ((-๐ด + (1 ยท ๐‘)) mod ๐‘))
19133ad2ant1 1020 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„š)
20 1zzd 9298 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
21 simp2 1000 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
22 simp3 1001 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘)
23 modqcyc 10377 . . . 4 (((-๐ด โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((-๐ด + (1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (-๐ด mod ๐‘))
2419, 20, 21, 22, 23syl22anc 1250 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((-๐ด + (1 ยท ๐‘)) mod ๐‘) = (-๐ด mod ๐‘))
2518, 24eqtrd 2222 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (((1 ยท ๐‘) + -๐ด) mod ๐‘) = (-๐ด mod ๐‘))
267, 10, 253eqtr2rd 2229 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (-๐ด mod ๐‘) = ((๐‘ โˆ’ ๐ด) mod ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7827  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   ยท cmul 7834   < clt 8010   โˆ’ cmin 8146  -cneg 8147  โ„คcz 9271  โ„šcq 9637   mod cmo 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-q 9638  df-rp 9672  df-fl 10288  df-mod 10341
This theorem is referenced by:  m1modnnsub1  10388
  Copyright terms: Public domain W3C validator