Theorem modqltm1p1mod 10376

Description: If a number modulo a modulus is less than the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals the first number modulo the modulus, increased by 1. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqltm1p1mod	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))

Proof of Theorem modqltm1p1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		1z 9279	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zq 9626	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 1 ∈ ℚ)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
6		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
7		modqaddmod 10363	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
8	1, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
9	1, 5, 6	modqcld 10328	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9635	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ)
11	9, 4, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ)
12		0red 7958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
13		qre 9625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
15		1red 7972	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	readdcld 7987	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17		modqge0 10332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
18	1, 5, 6, 17	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
19	14	lep1d 8888	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
20	12, 14, 16, 18, 19	letrd 8081	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
21		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1))
22		qre 9625	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	5, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	ltaddsubd 8502	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀 ↔ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀)
26		modqid 10349	. . 3 ⊢ (((((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∧ ((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
27	11, 5, 20, 25, 26	syl22anc 1239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
28	8, 27	eqtr3d 2212	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   ≤ cle 7993   − cmin 8128  ℤcz 9253  ℚcq 9619   mod cmo 10322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323

This theorem is referenced by: (None)