ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqltm1p1mod GIF version

Theorem modqltm1p1mod 10402
Description: If a number modulo a modulus is less than the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals the first number modulo the modulus, increased by 1. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqltm1p1mod (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))

Proof of Theorem modqltm1p1mod
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 1z 9304 . . . 4 1 ∈ ℤ
3 zq 9651 . . . 4 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
42, 3mp1i 10 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 1 ∈ ℚ)
5 simprl 529 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
6 simprr 531 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
7 modqaddmod 10389 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
81, 4, 5, 6, 7syl22anc 1250 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
91, 5, 6modqcld 10354 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
10 qaddcl 9660 . . . 4 (((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ)
119, 4, 10syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ)
12 0red 7983 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
13 qre 9650 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
149, 13syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
15 1red 7997 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15readdcld 8012 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17 modqge0 10358 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
181, 5, 6, 17syl3anc 1249 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
1914lep1d 8913 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
2012, 14, 16, 18, 19letrd 8106 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
21 simplr 528 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1))
22 qre 9650 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
235, 22syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
2414, 15, 23ltaddsubd 8527 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀 ↔ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)))
2521, 24mpbird 167 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀)
26 modqid 10375 . . 3 (((((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∧ ((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
2711, 5, 20, 25, 26syl22anc 1250 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
288, 27eqtr3d 2224 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  cr 7835  0cc0 7836  1c1 7837   + caddc 7839   < clt 8017  cle 8018  cmin 8153  cz 9278  cq 9644   mod cmo 10348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-n0 9202  df-z 9279  df-q 9645  df-rp 9679  df-fl 10296  df-mod 10349
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator