Theorem modqltm1p1mod 10450

Description: If a number modulo a modulus is less than the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals the first number modulo the modulus, increased by 1. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqltm1p1mod	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))

Proof of Theorem modqltm1p1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		1z 9346	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zq 9694	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 1 ∈ ℚ)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
6		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
7		modqaddmod 10437	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
8	1, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
9	1, 5, 6	modqcld 10402	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9703	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ)
11	9, 4, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ)
12		0red 8022	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
13		qre 9693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
15		1red 8036	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	readdcld 8051	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
17		modqge0 10406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
18	1, 5, 6, 17	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
19	14	lep1d 8952	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
20	12, 14, 16, 18, 19	letrd 8145	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
21		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1))
22		qre 9693	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	5, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	ltaddsubd 8566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀 ↔ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀)
26		modqid 10423	. . 3 ⊢ (((((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝑀) + 1) ∧ ((𝐴 mod 𝑀) + 1) < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
27	11, 5, 20, 25, 26	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))
28	8, 27	eqtr3d 2228	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 mod 𝑀) < (𝑀 − 1)) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192  ℤcz 9320  ℚcq 9687   mod cmo 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-mod 10397

This theorem is referenced by: (None)