Theorem gcdmultiple 12197

Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiple	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiple

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5931	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 1))
2	1	oveq2d 5939	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 1)))
3	2	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)))
5		oveq2 5931	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑛))
6	5	oveq2d 5939	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)))
7	6	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀)))
9		oveq2 5931	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
10	9	oveq2d 5939	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
11	10	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
13		oveq2 5931	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑁))
14	13	oveq2d 5939	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
15	14	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)))
17		nncn 9000	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 8045	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
19	18	oveq2d 5939	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = (𝑀 gcd 𝑀))
20		nnz 9347	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
21		gcdid 12163	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
23		nnre 8999	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24		nnnn0 9258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 9307	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
26	23, 25	absidd 11334	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
27	22, 26	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = 𝑀)
28	19, 27	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)
29	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		nnz 9347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
31		zmulcl 9381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
32	20, 30, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
33		1z 9354	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
34		gcdaddm 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
35	33, 34	mp3an1 1335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
36	29, 32, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
37		nncn 9000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 7974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		adddi 8013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
40	38, 39	mp3an3 1337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
41		mulcom 8010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
42	38, 41	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
44	43	oveq2d 5939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
45	40, 44	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
46	17, 37, 45	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
47	46	oveq2d 5939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
48	36, 47	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
49	48	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
50	49	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
51	50	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
52	51	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
53	4, 8, 12, 16, 28, 52	nnind 9008	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
54	53	impcom 125	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  1c1 7882   + caddc 7884   · cmul 7886  ℕcn 8992  ℤcz 9328  abscabs 11164   gcd cgcd 12130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-sup 7051  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-dvds 11955  df-gcd 12131

This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  12198  rpmulgcd  12203