Theorem gcdmultiple 12021

Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiple	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiple

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 1))
2	1	oveq2d 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 1)))
3	2	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)))
5		oveq2 5883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑛))
6	5	oveq2d 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)))
7	6	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀)))
9		oveq2 5883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
10	9	oveq2d 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
11	10	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
13		oveq2 5883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑁))
14	13	oveq2d 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
15	14	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)))
17		nncn 8927	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 7974	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
19	18	oveq2d 5891	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = (𝑀 gcd 𝑀))
20		nnz 9272	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
21		gcdid 11987	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
23		nnre 8926	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24		nnnn0 9183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 9232	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
26	23, 25	absidd 11176	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
27	22, 26	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = 𝑀)
28	19, 27	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)
29	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		nnz 9272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
31		zmulcl 9306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
32	20, 30, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
33		1z 9279	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
34		gcdaddm 11985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
35	33, 34	mp3an1 1324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
36	29, 32, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
37		nncn 8927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		adddi 7943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
40	38, 39	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
41		mulcom 7940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
42	38, 41	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
44	43	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
45	40, 44	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
46	17, 37, 45	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
47	46	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
48	36, 47	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
49	48	eqeq1d 2186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
50	49	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
51	50	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
52	51	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
53	4, 8, 12, 16, 28, 52	nnind 8935	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
54	53	impcom 125	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816  ℕcn 8919  ℤcz 9253  abscabs 11006   gcd cgcd 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944

This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  12022  rpmulgcd  12027