Theorem gcdmultiple 12015

Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiple	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiple

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5882	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 1))
2	1	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 1)))
3	2	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)))
5		oveq2 5882	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑛))
6	5	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)))
7	6	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀)))
9		oveq2 5882	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
10	9	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
11	10	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
13		oveq2 5882	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑁))
14	13	oveq2d 5890	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
15	14	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)))
17		nncn 8925	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 7973	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
19	18	oveq2d 5890	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = (𝑀 gcd 𝑀))
20		nnz 9270	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
21		gcdid 11981	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
23		nnre 8924	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24		nnnn0 9181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 9230	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
26	23, 25	absidd 11171	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
27	22, 26	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = 𝑀)
28	19, 27	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)
29	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		nnz 9270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
31		zmulcl 9304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
32	20, 30, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
33		1z 9277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
34		gcdaddm 11979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
35	33, 34	mp3an1 1324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
36	29, 32, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
37		nncn 8925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 7903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		adddi 7942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
40	38, 39	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
41		mulcom 7939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
42	38, 41	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
44	43	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
45	40, 44	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
46	17, 37, 45	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
47	46	oveq2d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
48	36, 47	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
49	48	eqeq1d 2186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
50	49	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
51	50	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
52	51	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
53	4, 8, 12, 16, 28, 52	nnind 8933	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
54	53	impcom 125	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815  ℕcn 8917  ℤcz 9251  abscabs 11001   gcd cgcd 11937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-gcd 11938

This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  12016  rpmulgcd  12021