Theorem binom11 11632

Description: Special case of the binomial theorem for 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
binom11	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑁C𝑘))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binom11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9043	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 5929	. . 3 ⊢ (2↑𝑁) = ((1 + 1)↑𝑁)
3		ax-1cn 7967	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		binom1p 11631	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 + 1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)))
5	3, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)))
6	2, 5	eqtrid 2238	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)))
7		elfzelz 10094	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		1exp 10642	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (1↑𝑘) = 1)
10	9	oveq2d 5935	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)) = ((𝑁C𝑘) · 1))
11		bccl2 10842	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 8998	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13	12	mulridd 8038	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝑘) · 1) = (𝑁C𝑘))
14	10, 13	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)) = (𝑁C𝑘))
15	14	sumeq2i 11510	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (1↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑁C𝑘)
16	6, 15	eqtrdi 2242	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑁C𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  2c2 9035  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ...cfz 10077  ↑cexp 10612  Ccbc 10821  Σcsu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by: (None)