Theorem lcm1 12589

Description: The lcm of an integer and 1 is the absolute value of the integer. (Contributed by AV, 23-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcm1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd1 12494	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)
2	1	oveq2d 6010	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)) = ((𝑀 lcm 1) · 1))
3		1z 9460	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		lcmcl 12580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 9412	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) ∈ ℂ)
7	6	mulridd 8151	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 1) · 1) = (𝑀 lcm 1))
8	2, 7	eqtr2d 2263	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) = ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)))
9		lcmgcd 12586	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)) = (abs‘(𝑀 · 1)))
10	3, 9	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)) = (abs‘(𝑀 · 1)))
11		zcn 9439	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	11	mulridd 8151	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
13	12	fveq2d 5627	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 1)) = (abs‘𝑀))
14	8, 10, 13	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  1c1 7988   · cmul 7992  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434  abscabs 11494   gcd cgcd 12460   lcm clcm 12568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-gcd 12461  df-lcm 12569

This theorem is referenced by: (None)