Theorem nn0opthlem1d 11180

Description: A rather pretty lemma for nn0opth2 11184. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthlem1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem nn0opthlem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		1nn0 9590	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4	1, 3	nn0addcld 9635	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
5		nn0opthlem1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0le2msqd 11179	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
7		nn0ltp1le 9718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
8	1, 5, 7	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
9	1, 1	nn0mulcld 9636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0)
10		2nn0 9591	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
12	11, 1	nn0mulcld 9636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 9635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	5, 5	nn0mulcld 9636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0)
15		nn0ltp1le 9718	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
16	13, 14, 15	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
17	1	nn0cnd 9633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		binom2 11109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
21	17, 18	addcld 8351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
22	21	sqvald 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
23	17	sqvald 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	23	oveq1d 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))))
25	18	sqvald 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = (1 · 1))
26	24, 25	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
27	20, 22, 26	3eqtr3d 2279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
28	17	mulridd 8349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
29	28	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
30	29	oveq2d 6104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
31	18	mulridd 8349	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
32	30, 31	oveq12d 6106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
33	27, 32	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
34	33	breq1d 4141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
35	16, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
36	6, 8, 35	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367  2c2 9364  ℕ₀cn0 9574  ↑cexp 10996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-exp 10997

This theorem is used by:  nn0opthlem2d  11181