ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem1d GIF version

Theorem nn0opthlem1d 10720
Description: A rather pretty lemma for nn0opth2 10724. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthlem1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
nn0opthlem1d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem1d (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ถ โ†” ((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) < (๐ถ ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem nn0opthlem1d
StepHypRef Expression
1 nn0opthlem1d.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2 1nn0 9212 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•0
32a1i 9 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
41, 3nn0addcld 9253 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
5 nn0opthlem1d.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
64, 5nn0le2msqd 10719 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ถ โ†” ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ถ)))
7 nn0ltp1le 9335 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐ถ โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ถ))
81, 5, 7syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ถ โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ถ))
91, 1nn0mulcld 9254 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0)
10 2nn0 9213 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•0
1110a1i 9 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1211, 1nn0mulcld 9254 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0)
139, 12nn0addcld 9253 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0)
145, 5nn0mulcld 9254 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
15 nn0ltp1le 9335 . . . 4 ((((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†” (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) + 1) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ถ)))
1613, 14, 15syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†” (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) + 1) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ถ)))
171nn0cnd 9251 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
18 1cnd 7993 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
19 binom2 10652 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) + (1โ†‘2)))
2017, 18, 19syl2anc 411 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) + (1โ†‘2)))
2117, 18addcld 7997 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
2221sqvald 10671 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
2317sqvald 10671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
2423oveq1d 5907 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท (๐ด ยท 1))))
2518sqvald 10671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = (1 ยท 1))
2624, 25oveq12d 5910 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) + (1โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) + (1 ยท 1)))
2720, 22, 263eqtr3d 2230 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) + (1 ยท 1)))
2817mulridd 7994 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
2928oveq2d 5908 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท 1)) = (2 ยท ๐ด))
3029oveq2d 5908 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)))
3118mulridd 7994 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท 1) = 1)
3230, 31oveq12d 5910 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท (๐ด ยท 1))) + (1 ยท 1)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) + 1))
3327, 32eqtrd 2222 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) + 1))
3433breq1d 4028 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ถ) โ†” (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) + 1) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ถ)))
3516, 34bitr4d 191 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) < (๐ถ ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ถ)))
366, 8, 353bitr4d 220 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ถ โ†” ((๐ด ยท ๐ด) + (2 ยท ๐ด)) < (๐ถ ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  โ„‚cc 7829  1c1 7832   + caddc 7834   ยท cmul 7836   < clt 8012   โ‰ค cle 8013  2c2 8990  โ„•0cn0 9196  โ†‘cexp 10539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-seqfrec 10466  df-exp 10540
This theorem is referenced by:  nn0opthlem2d  10721
  Copyright terms: Public domain W3C validator