Theorem nn0opthlem1d 10887

Description: A rather pretty lemma for nn0opth2 10891. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthlem1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem nn0opthlem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		1nn0 9331	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4	1, 3	nn0addcld 9372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
5		nn0opthlem1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0le2msqd 10886	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
7		nn0ltp1le 9455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
8	1, 5, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
9	1, 1	nn0mulcld 9373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0)
10		2nn0 9332	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
12	11, 1	nn0mulcld 9373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 9372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	5, 5	nn0mulcld 9373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0)
15		nn0ltp1le 9455	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
17	1	nn0cnd 9370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8108	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		binom2 10818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
21	17, 18	addcld 8112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
22	21	sqvald 10837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
23	17	sqvald 10837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	23	oveq1d 5972	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))))
25	18	sqvald 10837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = (1 · 1))
26	24, 25	oveq12d 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
27	20, 22, 26	3eqtr3d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
28	17	mulridd 8109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
29	28	oveq2d 5973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
30	29	oveq2d 5973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
31	18	mulridd 8109	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
32	30, 31	oveq12d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
33	27, 32	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
34	33	breq1d 4061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
35	16, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
36	6, 8, 35	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  1c1 7946   + caddc 7948   · cmul 7950   < clt 8127   ≤ cle 8128  2c2 9107  ℕ₀cn0 9315  ↑cexp 10705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615  df-exp 10706

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2d  10888