Theorem nn0opthlem1d 10791

Description: A rather pretty lemma for nn0opth2 10795. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthlem1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem nn0opthlem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		1nn0 9256	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4	1, 3	nn0addcld 9297	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
5		nn0opthlem1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0le2msqd 10790	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
7		nn0ltp1le 9379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
8	1, 5, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
9	1, 1	nn0mulcld 9298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0)
10		2nn0 9257	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
12	11, 1	nn0mulcld 9298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 9297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	5, 5	nn0mulcld 9298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0)
15		nn0ltp1le 9379	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
17	1	nn0cnd 9295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		binom2 10722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
21	17, 18	addcld 8039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
22	21	sqvald 10741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
23	17	sqvald 10741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	23	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))))
25	18	sqvald 10741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = (1 · 1))
26	24, 25	oveq12d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
27	20, 22, 26	3eqtr3d 2234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
28	17	mulridd 8036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
29	28	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
30	29	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
31	18	mulridd 8036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
32	30, 31	oveq12d 5936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
33	27, 32	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
34	33	breq1d 4039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
35	16, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
36	6, 8, 35	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055  2c2 9033  ℕ₀cn0 9240  ↑cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2d  10792