Theorem nn0opthlem1d 10654

Description: A rather pretty lemma for nn0opth2 10658. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthlem1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem nn0opthlem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		1nn0 9151	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4	1, 3	nn0addcld 9192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
5		nn0opthlem1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0le2msqd 10653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
7		nn0ltp1le 9274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
8	1, 5, 7	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
9	1, 1	nn0mulcld 9193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0)
10		2nn0 9152	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
12	11, 1	nn0mulcld 9193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 9192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	5, 5	nn0mulcld 9193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0)
15		nn0ltp1le 9274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
16	13, 14, 15	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
17	1	nn0cnd 9190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 7936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		binom2 10587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
21	17, 18	addcld 7939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
22	21	sqvald 10606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
23	17	sqvald 10606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	23	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))))
25	18	sqvald 10606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = (1 · 1))
26	24, 25	oveq12d 5871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
27	20, 22, 26	3eqtr3d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
28	17	mulid1d 7937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
29	28	oveq2d 5869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
30	29	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
31	18	mulid1d 7937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
32	30, 31	oveq12d 5871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
33	27, 32	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
34	33	breq1d 3999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
35	16, 34	bitr4d 190	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
36	6, 8, 35	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2d  10655