Theorem nn0opthlem1d 10954

Description: A rather pretty lemma for nn0opth2 10958. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthlem1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem nn0opthlem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		1nn0 9396	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4	1, 3	nn0addcld 9437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
5		nn0opthlem1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0le2msqd 10953	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
7		nn0ltp1le 9520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
8	1, 5, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
9	1, 1	nn0mulcld 9438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0)
10		2nn0 9397	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
12	11, 1	nn0mulcld 9438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0addcld 9437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	5, 5	nn0mulcld 9438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0)
15		nn0ltp1le 9520	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
17	1	nn0cnd 9435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18		1cnd 8173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		binom2 10885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
21	17, 18	addcld 8177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
22	21	sqvald 10904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
23	17	sqvald 10904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
24	23	oveq1d 6022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))))
25	18	sqvald 10904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = (1 · 1))
26	24, 25	oveq12d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
27	20, 22, 26	3eqtr3d 2270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)))
28	17	mulridd 8174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
29	28	oveq2d 6023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
30	29	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)))
31	18	mulridd 8174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 1) = 1)
32	30, 31	oveq12d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
33	27, 32	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1))
34	33	breq1d 4093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
35	16, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
36	6, 8, 35	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015   < clt 8192   ≤ cle 8193  2c2 9172  ℕ₀cn0 9380  ↑cexp 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-seqfrec 10682  df-exp 10773

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2d  10955