ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coprmdvds GIF version

Theorem coprmdvds 11613
Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾𝑁))

Proof of Theorem coprmdvds
StepHypRef Expression
1 zcn 8957 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2 zcn 8957 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3 mulcom 7667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
41, 2, 3syl2an 285 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
54breq2d 3905 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)))
6 dvdsmulgcd 11553 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
76ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
85, 7bitrd 187 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
983adant1 980 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
109adantr 272 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
11 gcdcom 11504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝐾))
12113adant3 982 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝐾))
1312eqeq1d 2121 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝐾) = 1))
14 oveq2 5734 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 gcd 𝐾) = 1 → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1))
1513, 14syl6bi 162 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1)))
1615imp 123 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1))
172mulid1d 7701 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
18173ad2ant3 985 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
1918adantr 272 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2016, 19eqtrd 2145 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = 𝑁)
2120breq2d 3905 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) ↔ 𝐾𝑁))
2210, 21bitrd 187 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
2322biimpd 143 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾𝑁))
2423ex 114 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾𝑁)))
2524com23 78 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → 𝐾𝑁)))
2625impd 252 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 943   = wceq 1312  wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  cc 7539  1c1 7542   · cmul 7546  cz 8952  cdvds 11335   gcd cgcd 11477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-sup 6821  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-fz 9678  df-fzo 9807  df-fl 9930  df-mod 9983  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336  df-gcd 11478
This theorem is referenced by:  coprmdvds2  11614  qredeq  11617  cncongr1  11624  euclemma  11664
  Copyright terms: Public domain W3C validator