Theorem coprmdvds 11773

Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem coprmdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 9059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		mulcom 7749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
5	4	breq2d 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)))
6		dvdsmulgcd 11713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
7	6	ancoms 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
8	5, 7	bitrd 187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
9	8	3adant1 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
10	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
11		gcdcom 11662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝐾))
12	11	3adant3 1001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝐾))
13	12	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝐾) = 1))
14		oveq2 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 gcd 𝐾) = 1 → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1))
15	13, 14	syl6bi 162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1)))
16	15	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1))
17	2	mulid1d 7783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
20	16, 19	eqtrd 2172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = 𝑁)
21	20	breq2d 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
22	10, 21	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
23	22	biimpd 143	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
24	23	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
25	24	com23 78	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → 𝐾 ∥ 𝑁)))
26	25	impd 252	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  1c1 7621   · cmul 7625  ℤcz 9054   ∥ cdvds 11493   gcd cgcd 11635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636

This theorem is referenced by:  coprmdvds2  11774  qredeq  11777  cncongr1  11784  euclemma  11824