Theorem wlkepvtx 16530

Description: The endpoints of a walk are vertices. (Contributed by AV, 31-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkpvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkepvtx	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wlkepvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkpvtx.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 16489	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
3		wlkcl 16487	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4		0elfz 10503	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
5		ffvelcdm 5832	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
6	4, 5	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
7		nn0fz0 10504	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8		ffvelcdm 5832	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉)
9	7, 8	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉)
10	6, 9	jca 306	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))
11	2, 3, 10	syl2anc 415	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169  ℕ₀cn0 9542  ...cfz 10390  ♯chash 11192  Vtxcvtx 16167  Walkscwlks 16472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-wlks 16473

This theorem is referenced by:  eupth2lemsfi  16633  eulerpathprum  16635