Theorem nmcfnex 32072

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcfnex	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcfnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3967	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
2		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (normfn‘𝑇) = (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))))
3	2	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) ∈ ℝ))
4		0lnfn 32004	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
5		0cnfn 31999	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
6		elin 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
7	4, 5, 6	mpbir2an 711	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
8	7	elimel 4595	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
9		elin 3967	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
10	8, 9	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn)
11	10	simpli 483	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
12	10	simpri 485	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
13	11, 12	nmcfnexi 32070	. . 3 ⊢ (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) ∈ ℝ
14	3, 13	dedth 4584	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
15	1, 14	sylbir 235	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950  ifcif 4525  {csn 4626   × cxp 5683  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  0cc0 11155   ℋchba 30938  norm_fncnmf 30970  ContFnccnfn 30972  LinFnclf 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990  df-nmfn 31864  df-cnfn 31866  df-lnfn 31867

This theorem is referenced by:  lnfnconi  32074  lnfncnbd  32076