HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnex 32082
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcfnex ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcfnex
StepHypRef Expression
1 elin 3979 . 2 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
2 fveq2 6907 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (normfn𝑇) = (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))))
32eleq1d 2824 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) ∈ ℝ))
4 0lnfn 32014 . . . . . . . 8 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
5 0cnfn 32009 . . . . . . . 8 ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
6 elin 3979 . . . . . . . 8 (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
74, 5, 6mpbir2an 711 . . . . . . 7 ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
87elimel 4600 . . . . . 6 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
9 elin 3979 . . . . . 6 (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
108, 9mpbi 230 . . . . 5 (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn)
1110simpli 483 . . . 4 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
1210simpri 485 . . . 4 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
1311, 12nmcfnexi 32080 . . 3 (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) ∈ ℝ
143, 13dedth 4589 . 2 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
151, 14sylbir 235 1 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  ifcif 4531  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  cr 11152  0cc0 11153  chba 30948  normfncnmf 30980  ContFnccnfn 30982  LinFnclf 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000  df-nmfn 31874  df-cnfn 31876  df-lnfn 31877
This theorem is referenced by:  lnfnconi  32084  lnfncnbd  32086
  Copyright terms: Public domain W3C validator