Theorem nmcfnex 32346

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcfnex	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcfnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3929	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
2		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (normfn‘𝑇) = (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))))
3	2	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) ∈ ℝ))
4		0lnfn 32278	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
5		0cnfn 32273	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
6		elin 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
7	4, 5, 6	mpbir2an 723	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
8	7	elimel 4562	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
9		elin 3929	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
10	8, 9	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn)
11	10	simpli 488	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
12	10	simpri 490	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
13	11, 12	nmcfnexi 32344	. . 3 ⊢ (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) ∈ ℝ
14	3, 13	dedth 4551	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
15	1, 14	sylbir 238	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  ifcif 4492  {csn 4594   × cxp 5660  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  0cc0 11100   ℋchba 31212  norm_fncnmf 31244  ContFnccnfn 31246  LinFnclf 31247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvmulass 31300  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his3 31377  ax-his4 31378

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-hnorm 31261  df-hvsub 31264  df-nmfn 32138  df-cnfn 32140  df-lnfn 32141

This theorem is referenced by:  lnfnconi  32348  lnfncnbd  32350