HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz1 31056
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 31057. For the continuous linear functional version, see riesz3i 31053 and riesz4 31055. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡

Proof of Theorem riesz1
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 31048 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„))
2 elin 3930 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
3 fveq1 6845 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ))
43eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
54rexralbidv 3211 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
6 inss1 4192 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† LinFn
7 0lnfn 30976 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
8 0cnfn 30971 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn
9 elin 3930 . . . . . . . . . 10 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn))
107, 8, 9mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
1110elimel 4559 . . . . . . . 8 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
126, 11sselii 3945 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn
13 inss2 4193 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† ContFn
1413, 11sselii 3945 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn
1512, 14riesz3i 31053 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
165, 15dedth 4548 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
172, 16sylbir 234 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
1817ex 414 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
19 normcl 30116 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
2019adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
21 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
23 bcs 30172 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
24 normcl 30116 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
25 recn 11149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
26 recn 11149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 mulcom 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2825, 26, 27syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2924, 19, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3023, 29breqtrd 5135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3231adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3322, 32eqbrtrd 5131 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3433ex 414 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3534an32s 651 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3635ralimdva 3161 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3837breq2d 5121 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3938ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4039rspcev 3583 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4120, 36, 40syl6an 683 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4241rexlimdva 3149 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
43 lnfncon 31047 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4442, 43sylibrd 259 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
4518, 44impbid 211 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
461, 45bitr3d 281 1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โˆฉ cin 3913  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  abscabs 15128   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913  normโ„Žcno 29914  normfncnmf 29942  ContFnccnfn 29944  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076  ax-hcompl 30193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-t1 22688  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-dip 29692  df-ssp 29713  df-ph 29804  df-cbn 29854  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-hlim 29963  df-hcau 29964  df-sh 30198  df-ch 30212  df-oc 30243  df-ch0 30244  df-nmfn 30836  df-nlfn 30837  df-cnfn 30838  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  rnbra  31098
  Copyright terms: Public domain W3C validator