HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem riesz1 31313
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 31314. For the continuous linear functional version, see riesz3i 31310 and riesz4 31312. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Proof of Theorem riesz1
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 31305 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„))
2 elin 3964 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
3 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ))
43eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
54rexralbidv 3220 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
6 inss1 4228 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† LinFn
7 0lnfn 31233 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
8 0cnfn 31228 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn
9 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn))
107, 8, 9mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
1110elimel 4597 . . . . . . . 8 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
126, 11sselii 3979 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn
13 inss2 4229 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† ContFn
1413, 11sselii 3979 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn
1512, 14riesz3i 31310 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
165, 15dedth 4586 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
172, 16sylbir 234 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
1817ex 413 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
19 normcl 30373 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
2019adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
23 bcs 30429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
24 normcl 30373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
25 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
26 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 mulcom 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2825, 26, 27syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2924, 19, 28syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3023, 29breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3322, 32eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3433ex 413 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3534an32s 650 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3635ralimdva 3167 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3837breq2d 5160 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3938ralbidv 3177 . . . . . . 7 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4039rspcev 3612 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4120, 36, 40syl6an 682 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4241rexlimdva 3155 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
43 lnfncon 31304 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4442, 43sylibrd 258 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
4518, 44impbid 211 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
461, 45bitr3d 280 1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โˆฉ cin 3947  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11248  abscabs 15180   โ„‹chba 30167   ยทih csp 30170  normโ„Žcno 30171  normfncnmf 30199  ContFnccnfn 30201  LinFnclf 30202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-t1 22817  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-nmfn 31093  df-nlfn 31094  df-cnfn 31095  df-lnfn 31096
This theorem is referenced by:  rnbra  31355
  Copyright terms: Public domain W3C validator