HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem riesz1 31813
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 31814. For the continuous linear functional version, see riesz3i 31810 and riesz4 31812. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Proof of Theorem riesz1
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 31805 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„))
2 elin 3957 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
3 fveq1 6881 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ))
43eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
54rexralbidv 3212 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
6 inss1 4221 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† LinFn
7 0lnfn 31733 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
8 0cnfn 31728 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn
9 elin 3957 . . . . . . . . . 10 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn))
107, 8, 9mpbir2an 708 . . . . . . . . 9 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
1110elimel 4590 . . . . . . . 8 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
126, 11sselii 3972 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn
13 inss2 4222 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† ContFn
1413, 11sselii 3972 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn
1512, 14riesz3i 31810 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
165, 15dedth 4579 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
172, 16sylbir 234 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
1817ex 412 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
19 normcl 30873 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
21 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
23 bcs 30929 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
24 normcl 30873 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
25 recn 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
26 recn 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 mulcom 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2825, 26, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2924, 19, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3023, 29breqtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3322, 32eqbrtrd 5161 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3433ex 412 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3534an32s 649 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3635ralimdva 3159 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq1 7409 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3837breq2d 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3938ralbidv 3169 . . . . . . 7 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4039rspcev 3604 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4120, 36, 40syl6an 681 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4241rexlimdva 3147 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
43 lnfncon 31804 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4442, 43sylibrd 259 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
4518, 44impbid 211 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
461, 45bitr3d 281 1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062   โˆฉ cin 3940  ifcif 4521  {csn 4621   class class class wbr 5139   ร— cxp 5665  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107   ยท cmul 11112   โ‰ค cle 11248  abscabs 15183   โ„‹chba 30667   ยทih csp 30670  normโ„Žcno 30671  normfncnmf 30699  ContFnccnfn 30701  LinFnclf 30702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30747  ax-hfvadd 30748  ax-hvcom 30749  ax-hvass 30750  ax-hv0cl 30751  ax-hvaddid 30752  ax-hfvmul 30753  ax-hvmulid 30754  ax-hvmulass 30755  ax-hvdistr1 30756  ax-hvdistr2 30757  ax-hvmul0 30758  ax-hfi 30827  ax-his1 30830  ax-his2 30831  ax-his3 30832  ax-his4 30833  ax-hcompl 30950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-lm 23077  df-t1 23162  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cfil 25127  df-cau 25128  df-cmet 25129  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ginv 30243  df-gdiv 30244  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-vs 30347  df-nmcv 30348  df-ims 30349  df-dip 30449  df-ssp 30470  df-ph 30561  df-cbn 30611  df-hnorm 30716  df-hba 30717  df-hvsub 30719  df-hlim 30720  df-hcau 30721  df-sh 30955  df-ch 30969  df-oc 31000  df-ch0 31001  df-nmfn 31593  df-nlfn 31594  df-cnfn 31595  df-lnfn 31596
This theorem is referenced by:  rnbra  31855
  Copyright terms: Public domain W3C validator