Theorem riesz1 32044

Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 32045. For the continuous linear functional version, see riesz3i 32041 and riesz4 32043. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
riesz1	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem riesz1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32036	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
2		elin 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
3		fveq1 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥))
4	3	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
5	4	rexralbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
6		inss1 4196	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ LinFn
7		0lnfn 31964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8		0cnfn 31959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
9		elin 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
10	7, 8, 9	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
11	10	elimel 4554	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	6, 11	sselii 3940	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13		inss2 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ ContFn
14	13, 11	sselii 3940	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
15	12, 14	riesz3i 32041	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)
16	5, 15	dedth 4543	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
17	2, 16	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
19		normcl 31104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
21		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
23		bcs 31160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)))
24		normcl 31104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
25		recn 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
26		recn 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
27		mulcom 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
28	25, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
29	24, 19, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
30	23, 29	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
31	30	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
33	22, 32	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
34	33	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
35	34	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
36	35	ralimdva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
37		oveq1 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
38	37	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → ((abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
39	38	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
40	39	rspcev 3585	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)))
41	20, 36, 40	syl6an 684	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
42	41	rexlimdva 3134	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
43		lnfncon 32035	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
44	42, 43	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → 𝑇 ∈ ContFn))
45	18, 44	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
46	1, 45	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044   · cmul 11049   ≤ cle 11185  abscabs 15176   ℋchba 30898   ·_ih csp 30901  norm_ℎcno 30902  norm_fncnmf 30930  ContFnccnfn 30932  LinFnclf 30933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvmulass 30986  ax-hvdistr1 30987  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063  ax-his4 31064  ax-hcompl 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-t1 23234  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cfil 25188  df-cau 25189  df-cmet 25190  df-grpo 30472  df-gid 30473  df-ginv 30474  df-gdiv 30475  df-ablo 30524  df-vc 30538  df-nv 30571  df-va 30574  df-ba 30575  df-sm 30576  df-0v 30577  df-vs 30578  df-nmcv 30579  df-ims 30580  df-dip 30680  df-ssp 30701  df-ph 30792  df-cbn 30842  df-hnorm 30947  df-hba 30948  df-hvsub 30950  df-hlim 30951  df-hcau 30952  df-sh 31186  df-ch 31200  df-oc 31231  df-ch0 31232  df-nmfn 31824  df-nlfn 31825  df-cnfn 31826  df-lnfn 31827

This theorem is referenced by:  rnbra  32086