Theorem riesz1 32667

Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 32668. For the continuous linear functional version, see riesz3i 32664 and riesz4 32666. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
riesz1	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem riesz1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32659	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
2		elin 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
3		fveq1 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥))
4	3	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
5	4	rexralbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
6		inss1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ LinFn
7		0lnfn 32587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8		0cnfn 32582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
9		elin 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
10	7, 8, 9	mpbir2an 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
11	10	elimel 4551	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	6, 11	sselii 3905	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13		inss2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ ContFn
14	13, 11	sselii 3905	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
15	12, 14	riesz3i 32664	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)
16	5, 15	dedth 4540	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
17	2, 16	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
18	17	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
19		normcl 31727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
21		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
23		bcs 31783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)))
24		normcl 31727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
25		recn 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
26		recn 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
27		mulcom 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
28	25, 26, 27	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
29	24, 19, 28	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
30	23, 29	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
31	30	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
33	22, 32	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
34	33	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
35	34	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
36	35	ralimdva 3174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
37		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
38	37	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → ((abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
39	38	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
40	39	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)))
41	20, 36, 40	syl6an 697	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
42	41	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
43		lnfncon 32658	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
44	42, 43	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → 𝑇 ∈ ContFn))
45	18, 44	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
46	1, 45	bitr3d 284	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 4089  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205   ≤ cle 11344  abscabs 15401   ℋchba 31521   ·_ih csp 31524  norm_ℎcno 31525  norm_fncnmf 31553  ContFnccnfn 31555  LinFnclf 31556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-t1 23632  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-nmfn 32447  df-nlfn 32448  df-cnfn 32449  df-lnfn 32450

This theorem is used by:  rnbra  32709