Theorem riesz1 32144

Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 32145. For the continuous linear functional version, see riesz3i 32141 and riesz4 32143. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
riesz1	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem riesz1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32136	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
2		elin 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
3		fveq1 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥))
4	3	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
5	4	rexralbidv 3203	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
6		inss1 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ LinFn
7		0lnfn 32064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8		0cnfn 32059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
9		elin 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
10	7, 8, 9	mpbir2an 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
11	10	elimel 4550	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	6, 11	sselii 3931	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13		inss2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ ContFn
14	13, 11	sselii 3931	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
15	12, 14	riesz3i 32141	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)
16	5, 15	dedth 4539	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
17	2, 16	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
19		normcl 31204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
21		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
23		bcs 31260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)))
24		normcl 31204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
25		recn 11120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
26		recn 11120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
27		mulcom 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
28	25, 26, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
29	24, 19, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
30	23, 29	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
31	30	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
33	22, 32	eqbrtrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
34	33	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
35	34	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
36	35	ralimdva 3149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
37		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
38	37	breq2d 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → ((abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
39	38	ralbidv 3160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
40	39	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)))
41	20, 36, 40	syl6an 685	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
42	41	rexlimdva 3138	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
43		lnfncon 32135	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
44	42, 43	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → 𝑇 ∈ ContFn))
45	18, 44	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
46	1, 45	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∩ cin 3901  ifcif 4480  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030   · cmul 11035   ≤ cle 11171  abscabs 15161   ℋchba 30998   ·_ih csp 31001  norm_ℎcno 31002  norm_fncnmf 31030  ContFnccnfn 31032  LinFnclf 31033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110  ax-hilex 31078  ax-hfvadd 31079  ax-hvcom 31080  ax-hvass 31081  ax-hv0cl 31082  ax-hvaddid 31083  ax-hfvmul 31084  ax-hvmulid 31085  ax-hvmulass 31086  ax-hvdistr1 31087  ax-hvdistr2 31088  ax-hvmul0 31089  ax-hfi 31158  ax-his1 31161  ax-his2 31162  ax-his3 31163  ax-his4 31164  ax-hcompl 31281

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-t1 23262  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cfil 25215  df-cau 25216  df-cmet 25217  df-grpo 30572  df-gid 30573  df-ginv 30574  df-gdiv 30575  df-ablo 30624  df-vc 30638  df-nv 30671  df-va 30674  df-ba 30675  df-sm 30676  df-0v 30677  df-vs 30678  df-nmcv 30679  df-ims 30680  df-dip 30780  df-ssp 30801  df-ph 30892  df-cbn 30942  df-hnorm 31047  df-hba 31048  df-hvsub 31050  df-hlim 31051  df-hcau 31052  df-sh 31286  df-ch 31300  df-oc 31331  df-ch0 31332  df-nmfn 31924  df-nlfn 31925  df-cnfn 31926  df-lnfn 31927

This theorem is referenced by:  rnbra  32186