Theorem riesz1 32159

Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 32160. For the continuous linear functional version, see riesz3i 32156 and riesz4 32158. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
riesz1	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem riesz1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 32151	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
2		elin 3919	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
3		fveq1 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥))
4	3	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
5	4	rexralbidv 3204	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
6		inss1 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ LinFn
7		0lnfn 32079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8		0cnfn 32074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
9		elin 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
10	7, 8, 9	mpbir2an 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
11	10	elimel 4551	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	6, 11	sselii 3932	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13		inss2 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (LinFn ∩ ContFn) ⊆ ContFn
14	13, 11	sselii 3932	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
15	12, 14	riesz3i 32156	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)
16	5, 15	dedth 4540	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
17	2, 16	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
19		normcl 31219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
21		fveq2 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
23		bcs 31275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)))
24		normcl 31219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
25		recn 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
26		recn 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
27		mulcom 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
28	25, 26, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
29	24, 19, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) · (normℎ‘𝑦)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
30	23, 29	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
31	30	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
33	22, 32	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
34	33	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
35	34	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
36	35	ralimdva 3150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
37		oveq1 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) = ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
38	37	breq2d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → ((abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
39	38	ralbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))))
40	39	rspcev 3578	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normℎ‘𝑦) · (normℎ‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥)))
41	20, 36, 40	syl6an 685	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
42	41	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
43		lnfncon 32150	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝑧 · (normℎ‘𝑥))))
44	42, 43	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → 𝑇 ∈ ContFn))
45	18, 44	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
46	1, 45	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5632  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040   · cmul 11045   ≤ cle 11181  abscabs 15171   ℋchba 31013   ·_ih csp 31016  norm_ℎcno 31017  norm_fncnmf 31045  ContFnccnfn 31047  LinFnclf 31048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120  ax-hilex 31093  ax-hfvadd 31094  ax-hvcom 31095  ax-hvass 31096  ax-hv0cl 31097  ax-hvaddid 31098  ax-hfvmul 31099  ax-hvmulid 31100  ax-hvmulass 31101  ax-hvdistr1 31102  ax-hvdistr2 31103  ax-hvmul0 31104  ax-hfi 31173  ax-his1 31176  ax-his2 31177  ax-his3 31178  ax-his4 31179  ax-hcompl 31296

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-lm 23190  df-t1 23275  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cfil 25228  df-cau 25229  df-cmet 25230  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ginv 30589  df-gdiv 30590  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-vs 30693  df-nmcv 30694  df-ims 30695  df-dip 30795  df-ssp 30816  df-ph 30907  df-cbn 30957  df-hnorm 31062  df-hba 31063  df-hvsub 31065  df-hlim 31066  df-hcau 31067  df-sh 31301  df-ch 31315  df-oc 31346  df-ch0 31347  df-nmfn 31939  df-nlfn 31940  df-cnfn 31941  df-lnfn 31942

This theorem is referenced by:  rnbra  32201