HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem riesz1 31888
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 31889. For the continuous linear functional version, see riesz3i 31885 and riesz4 31887. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡
Proof of Theorem riesz1
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 31880 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„))
2 elin 3963 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
3 fveq1 6896 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ))
43eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
54rexralbidv 3217 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
6 inss1 4229 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† LinFn
7 0lnfn 31808 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
8 0cnfn 31803 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn
9 elin 3963 . . . . . . . . . 10 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn))
107, 8, 9mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
1110elimel 4598 . . . . . . . 8 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
126, 11sselii 3977 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn
13 inss2 4230 . . . . . . . 8 (LinFn โˆฉ ContFn) โŠ† ContFn
1413, 11sselii 3977 . . . . . . 7 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn
1512, 14riesz3i 31885 . . . . . 6 โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
165, 15dedth 4587 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
172, 16sylbir 234 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
1817ex 412 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
19 normcl 30948 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
21 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
23 bcs 31004 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
24 normcl 30948 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
25 recn 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
26 recn 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
27 mulcom 11225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2825, 26, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
2924, 19, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3023, 29breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3130adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3322, 32eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3433ex 412 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3534an32s 651 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3635ralimdva 3164 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
37 oveq1 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3837breq2d 5160 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
3938ralbidv 3174 . . . . . . 7 (๐‘ง = (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4039rspcev 3609 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
4120, 36, 40syl6an 683 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4241rexlimdva 3152 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
43 lnfncon 31879 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ง ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
4442, 43sylibrd 259 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
4518, 44impbid 211 . 2 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ContFn โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
461, 45bitr3d 281 1 (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   โˆฉ cin 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   ยท cmul 11144   โ‰ค cle 11280  abscabs 15214   โ„‹chba 30742   ยทih csp 30745  normโ„Žcno 30746  normfncnmf 30774  ContFnccnfn 30776  LinFnclf 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907  ax-his4 30908  ax-hcompl 31025
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-lm 23146  df-t1 23231  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-ims 30424  df-dip 30524  df-ssp 30545  df-ph 30636  df-cbn 30686  df-hnorm 30791  df-hba 30792  df-hvsub 30794  df-hlim 30795  df-hcau 30796  df-sh 31030  df-ch 31044  df-oc 31075  df-ch0 31076  df-nmfn 31668  df-nlfn 31669  df-cnfn 31670  df-lnfn 31671
This theorem is referenced by:  rnbra  31930
  Copyright terms: Public domain W3C validator