HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz1 29380
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 29381. For the continuous linear functional version, see riesz3i 29377 and riesz4 29379. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem riesz1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 29372 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑇) ∈ ℝ))
2 elin 3958 . . . . 5 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
3 fveq1 6374 . . . . . . . 8 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥))
43eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
54rexralbidv 3205 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
6 inss1 3992 . . . . . . . 8 (LinFn ∩ ContFn) ⊆ LinFn
7 0lnfn 29300 . . . . . . . . . 10 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8 0cnfn 29295 . . . . . . . . . 10 ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
9 elin 3958 . . . . . . . . . 10 (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
107, 8, 9mpbir2an 702 . . . . . . . . 9 ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
1110elimel 4310 . . . . . . . 8 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
126, 11sselii 3758 . . . . . . 7 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
13 inss2 3993 . . . . . . . 8 (LinFn ∩ ContFn) ⊆ ContFn
1413, 11sselii 3758 . . . . . . 7 if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
1512, 14riesz3i 29377 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)
165, 15dedth 4299 . . . . 5 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
172, 16sylbir 226 . . . 4 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
1817ex 401 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
19 normcl 28438 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
2019adantl 473 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm𝑦) ∈ ℝ)
21 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
2221adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇𝑥)) = (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)))
23 bcs 28494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑥) · (norm𝑦)))
24 normcl 28438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
25 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑥) ∈ ℝ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
26 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm𝑦) ∈ ℝ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
27 mulcom 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm𝑥) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → ((norm𝑥) · (norm𝑦)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
2825, 26, 27syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm𝑥) · (norm𝑦)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
2924, 19, 28syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) · (norm𝑦)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3023, 29breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3130adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3231adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑥 ·ih 𝑦)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3322, 32eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3433ex 401 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
3534an32s 642 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
3635ralimdva 3109 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
37 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (norm𝑦) → (𝑧 · (norm𝑥)) = ((norm𝑦) · (norm𝑥)))
3837breq2d 4821 . . . . . . . 8 (𝑧 = (norm𝑦) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥)) ↔ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
3938ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑧 = (norm𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))))
4039rspcev 3461 . . . . . 6 (((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ ((norm𝑦) · (norm𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥)))
4120, 36, 40syl6an 674 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥))))
4241rexlimdva 3178 . . . 4 (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥))))
43 lnfncon 29371 . . . 4 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝑧 · (norm𝑥))))
4442, 43sylibrd 250 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → (∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) → 𝑇 ∈ ContFn))
4518, 44impbid 203 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
461, 45bitr3d 272 1 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cin 3731  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  cle 10329  abscabs 14259  chba 28232   ·ih csp 28235  normcno 28236  normfncnmf 28264  ContFnccnfn 28266  LinFnclf 28267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-hilex 28312  ax-hfvadd 28313  ax-hvcom 28314  ax-hvass 28315  ax-hv0cl 28316  ax-hvaddid 28317  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvmulass 28320  ax-hvdistr1 28321  ax-hvdistr2 28322  ax-hvmul0 28323  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397  ax-his4 28398  ax-hcompl 28515
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-lm 21313  df-t1 21398  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cfil 23332  df-cau 23333  df-cmet 23334  df-grpo 27804  df-gid 27805  df-ginv 27806  df-gdiv 27807  df-ablo 27856  df-vc 27870  df-nv 27903  df-va 27906  df-ba 27907  df-sm 27908  df-0v 27909  df-vs 27910  df-nmcv 27911  df-ims 27912  df-dip 28012  df-ssp 28033  df-ph 28124  df-cbn 28175  df-hnorm 28281  df-hba 28282  df-hvsub 28284  df-hlim 28285  df-hcau 28286  df-sh 28520  df-ch 28534  df-oc 28565  df-ch0 28566  df-nmfn 29160  df-nlfn 29161  df-cnfn 29162  df-lnfn 29163
This theorem is referenced by:  rnbra  29422
  Copyright terms: Public domain W3C validator