HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmbdfnlb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmbdfnlb 31341
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear functional. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmbdfnlb ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Proof of Theorem nmbdfnlb
StepHypRef Expression
1 fveq1 6890 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด))
21fveq2d 6895 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)))
3 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜๐‘‡) = (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
43oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
52, 4breq12d 5161 . . . 4 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
65imbi2d 340 . . 3 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))))
7 eleq1 2821 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn))
83eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„))
97, 8anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)))
10 eleq1 2821 . . . . . 6 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn))
11 fveq2 6891 . . . . . . 7 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) = (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
1211eleq1d 2818 . . . . . 6 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„ โ†” (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„))
1310, 12anbi12d 631 . . . . 5 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)))
14 0lnfn 31276 . . . . . 6 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
15 nmfn0 31278 . . . . . . 7 (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) = 0
16 0re 11218 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
1715, 16eqeltri 2829 . . . . . 6 (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„
1814, 17pm3.2i 471 . . . . 5 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„)
199, 13, 18elimhyp 4593 . . . 4 (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)
2019nmbdfnlbi 31340 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
216, 20dedth 4586 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
22213impia 1117 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251  abscabs 15183   โ„‹chba 30210  normโ„Žcno 30214  normfncnmf 30242  LinFnclf 30245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his3 30375  ax-his4 30376
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-hnorm 30259  df-nmfn 31136  df-lnfn 31139
This theorem is referenced by:  lnfncnbd  31348
  Copyright terms: Public domain W3C validator