HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmbdfnlb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmbdfnlb 31303
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear functional. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmbdfnlb ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Proof of Theorem nmbdfnlb
StepHypRef Expression
1 fveq1 6891 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด))
21fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)))
3 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜๐‘‡) = (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
43oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
52, 4breq12d 5162 . . . 4 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))))
7 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn))
83eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„))
97, 8anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)))
10 eleq1 2822 . . . . . 6 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn))
11 fveq2 6892 . . . . . . 7 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) = (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
1211eleq1d 2819 . . . . . 6 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„ โ†” (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„))
1310, 12anbi12d 632 . . . . 5 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)))
14 0lnfn 31238 . . . . . 6 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
15 nmfn0 31240 . . . . . . 7 (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) = 0
16 0re 11216 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
1715, 16eqeltri 2830 . . . . . 6 (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„
1814, 17pm3.2i 472 . . . . 5 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„)
199, 13, 18elimhyp 4594 . . . 4 (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)
2019nmbdfnlbi 31302 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
216, 20dedth 4587 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
22213impia 1118 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  abscabs 15181   โ„‹chba 30172  normโ„Žcno 30176  normfncnmf 30204  LinFnclf 30207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-hnorm 30221  df-nmfn 31098  df-lnfn 31101
This theorem is referenced by:  lnfncnbd  31310
  Copyright terms: Public domain W3C validator