HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmbdfnlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmbdfnlb 31041
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear functional. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmbdfnlb ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmbdfnlb
StepHypRef Expression
1 fveq1 6845 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด))
21fveq2d 6850 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)))
3 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜๐‘‡) = (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
43oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
52, 4breq12d 5122 . . . 4 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))))
7 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinFn โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn))
83eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โ†” (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„))
97, 8anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)))
10 eleq1 2822 . . . . . 6 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn))
11 fveq2 6846 . . . . . . 7 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) = (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
1211eleq1d 2819 . . . . . 6 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„ โ†” (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„))
1310, 12anbi12d 632 . . . . 5 (( โ„‹ ร— {0}) = if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)))
14 0lnfn 30976 . . . . . 6 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
15 nmfn0 30978 . . . . . . 7 (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) = 0
16 0re 11165 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
1715, 16eqeltri 2830 . . . . . 6 (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„
1814, 17pm3.2i 472 . . . . 5 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ โ„)
199, 13, 18elimhyp 4555 . . . 4 (if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) โˆˆ โ„)
2019nmbdfnlbi 31040 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
216, 20dedth 4548 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
22213impia 1118 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง (normfnโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  abscabs 15128   โ„‹chba 29910  normโ„Žcno 29914  normfncnmf 29942  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hnorm 29959  df-nmfn 30836  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  lnfncnbd  31048
  Copyright terms: Public domain W3C validator