Theorem nmcfnlb 31936

Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcfnlb	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmcfnlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3960	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
2		fveq1 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴))
3	2	fveq2d 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) = (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)))
4		fveq2 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (normfn‘𝑇) = (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))))
5	4	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))
6	3, 5	breq12d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴))))
7	6	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))))
8		0lnfn 31867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
9		0cnfn 31862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
10		elin 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
11	8, 9, 10	mpbir2an 709	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	11	elimel 4599	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
13		elin 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
14	12, 13	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn)
15	14	simpli 482	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
16	14	simpri 484	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
17	15, 16	nmcfnlbi 31934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))
18	7, 17	dedth 4588	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
19	18	imp 405	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
20	1, 19	sylanbr 580	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
21	20	3impa 1107	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3943  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140   · cmul 11145   ≤ cle 11281  abscabs 15217   ℋchba 30801  norm_ℎcno 30805  norm_fncnmf 30833  ContFnccnfn 30835  LinFnclf 30836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his3 30966  ax-his4 30967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-hnorm 30850  df-hvsub 30853  df-nmfn 31727  df-cnfn 31729  df-lnfn 31730

This theorem is referenced by:  lnfnconi  31937