Theorem nmcfnlb 30416

Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcfnlb	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmcfnlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3903	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
2		fveq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴))
3	2	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) = (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)))
4		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (normfn‘𝑇) = (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))))
5	4	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))
6	3, 5	breq12d 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴))))
7	6	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))))
8		0lnfn 30347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
9		0cnfn 30342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
10		elin 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
11	8, 9, 10	mpbir2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	11	elimel 4528	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
13		elin 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
14	12, 13	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn)
15	14	simpli 484	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
16	14	simpri 486	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
17	15, 16	nmcfnlbi 30414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))
18	7, 17	dedth 4517	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
19	18	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
20	1, 19	sylanbr 582	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
21	20	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   · cmul 10876   ≤ cle 11010  abscabs 14945   ℋchba 29281  norm_ℎcno 29285  norm_fncnmf 29313  ContFnccnfn 29315  LinFnclf 29316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-hnorm 29330  df-hvsub 29333  df-nmfn 30207  df-cnfn 30209  df-lnfn 30210

This theorem is referenced by:  lnfnconi  30417