HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnlb 31045
Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcfnlb ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmcfnlb
StepHypRef Expression
1 elin 3930 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn))
2 fveq1 6845 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด))
32fveq2d 6850 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (absโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)))
4 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ (normfnโ€˜๐‘‡) = (normfnโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))))
54oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normfnโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
63, 5breq12d 5122 . . . . . 6 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” (absโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
76imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘‡ = if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))))
8 0lnfn 30976 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn
9 0cnfn 30971 . . . . . . . . . 10 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn
10 elin 3930 . . . . . . . . . 10 (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ LinFn โˆง ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ ContFn))
118, 9, 10mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 ( โ„‹ ร— {0}) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
1211elimel 4559 . . . . . . . 8 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn)
13 elin 3930 . . . . . . . 8 (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†” (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn))
1412, 13mpbi 229 . . . . . . 7 (if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn โˆง if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn)
1514simpli 485 . . . . . 6 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ LinFn
1614simpri 487 . . . . . 6 if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0})) โˆˆ ContFn
1715, 16nmcfnlbi 31043 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜if(๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn), ๐‘‡, ( โ„‹ ร— {0}))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
187, 17dedth 4548 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
1918imp 408 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (LinFn โˆฉ ContFn) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
201, 19sylanbr 583 . 2 (((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
21203impa 1111 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinFn โˆง ๐‘‡ โˆˆ ContFn โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normfnโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆฉ cin 3913  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  abscabs 15128   โ„‹chba 29910  normโ„Žcno 29914  normfncnmf 29942  ContFnccnfn 29944  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-hnorm 29959  df-hvsub 29962  df-nmfn 30836  df-cnfn 30838  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  lnfnconi  31046
  Copyright terms: Public domain W3C validator