Theorem nmcfnlb 32144

Description: A lower bound of the norm of a continuous linear Hilbert space functional. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmcfnlb	⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmcfnlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn))
2		fveq1 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴))
3	2	fveq2d 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) = (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)))
4		fveq2 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → (normfn‘𝑇) = (normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))))
5	4	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))
6	3, 5	breq12d 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴))))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))))
8		0lnfn 32075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
9		0cnfn 32070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
10		elin 3906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ∧ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn))
11	8, 9, 10	mpbir2an 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
12	11	elimel 4537	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn)
13		elin 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn ∧ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn)
15	14	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
16	14	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn
17	15, 16	nmcfnlbi 32142	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝐴)) ≤ ((normfn‘if(𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn), 𝑇, ( ℋ × {0}))) · (normℎ‘𝐴)))
18	7, 17	dedth 4526	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
19	18	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
20	1, 19	sylanbr 583	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
21	20	3impa 1110	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5624  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033   · cmul 11038   ≤ cle 11175  abscabs 15191   ℋchba 31009  norm_ℎcno 31013  norm_fncnmf 31041  ContFnccnfn 31043  LinFnclf 31044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvmulass 31097  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his3 31174  ax-his4 31175

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-hnorm 31058  df-hvsub 31061  df-nmfn 31935  df-cnfn 31937  df-lnfn 31938

This theorem is referenced by:  lnfnconi  32145