Theorem lnfncon 30091

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfncon	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfncon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2818	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇 ∈ ContFn ↔ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
2		fveq1 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇‘𝑦) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦))
3	2	fveq2d 6699	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) = (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)))
4	3	breq1d 5049	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
5	4	rexralbidv 3210	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
6	1, 5	bibi12d 349	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))) ↔ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))))
7		0lnfn 30020	. . . 4 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
8	7	elimel 4494	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
9	8	lnfnconi 30090	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
10	6, 9	dedth 4483	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  ifcif 4425  {csn 4527   class class class wbr 5039   × cxp 5534  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694   · cmul 10699   ≤ cle 10833  abscabs 14762   ℋchba 28954  norm_ℎcno 28958  ContFnccnfn 28988  LinFnclf 28989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-hilex 29034  ax-hfvadd 29035  ax-hv0cl 29038  ax-hvaddid 29039  ax-hfvmul 29040  ax-hvmulid 29041  ax-hvmulass 29042  ax-hvmul0 29045  ax-hfi 29114  ax-his1 29117  ax-his3 29119  ax-his4 29120

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-hnorm 29003  df-hvsub 29006  df-nmfn 29880  df-cnfn 29882  df-lnfn 29883

This theorem is referenced by:  lnfncnbd  30092  riesz1  30100  cnlnadjlem2  30103