MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcmp 22660
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 6677 . . . . 5 (∏t𝐹) ∈ V
21uniex 7461 . . . 4 (∏t𝐹) ∈ V
3 axac3 9880 . . . . 5 CHOICE
4 acufl 22519 . . . . 5 (CHOICE → UFL = V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 UFL = V
62, 5eleqtrri 2912 . . 3 (∏t𝐹) ∈ UFL
7 cardeqv 9885 . . . 4 dom card = V
82, 7eleqtrri 2912 . . 3 (∏t𝐹) ∈ dom card
96, 8elini 4169 . 2 (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10 eqid 2821 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
11 eqid 2821 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
1210, 11ptcmpg 22659 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp ∧ (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
139, 12mp3an3 1446 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  cin 3934   cuni 4831  dom cdm 5549  wf 6345  cfv 6349  cardccrd 9358  CHOICEwac 9535  tcpt 16706  Compccmp 21988  UFLcufl 22502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-ac2 9879
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-rpss 7443  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-wdom 9017  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cmp 21989  df-fil 22448  df-ufil 22503  df-ufl 22504  df-flim 22541  df-fcls 22543
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator