MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcmp 22190
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 6424 . . . . 5 (∏t𝐹) ∈ V
21uniex 7187 . . . 4 (∏t𝐹) ∈ V
3 axac3 9574 . . . . 5 CHOICE
4 acufl 22049 . . . . 5 (CHOICE → UFL = V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 UFL = V
62, 5eleqtrri 2877 . . 3 (∏t𝐹) ∈ UFL
7 cardeqv 9579 . . . 4 dom card = V
82, 7eleqtrri 2877 . . 3 (∏t𝐹) ∈ dom card
9 elin 3994 . . 3 ( (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card) ↔ ( (∏t𝐹) ∈ UFL ∧ (∏t𝐹) ∈ dom card))
106, 8, 9mpbir2an 703 . 2 (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
11 eqid 2799 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
12 eqid 2799 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
1311, 12ptcmpg 22189 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp ∧ (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
1410, 13mp3an3 1575 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  cin 3768   cuni 4628  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  cardccrd 9047  CHOICEwac 9224  tcpt 16414  Compccmp 21518  UFLcufl 22032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-ac2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-rpss 7171  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-wdom 8706  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-cda 9278  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cmp 21519  df-fil 21978  df-ufil 22033  df-ufl 22034  df-flim 22071  df-fcls 22073
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator