Theorem ptcmp 23961

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6910	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7746	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 10487	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 23820	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2828	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 10492	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2828	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9	6, 8	elini 4193	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10		eqid 2728	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
11		eqid 2728	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
12	10, 11	ptcmpg 23960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
13	9, 12	mp3an3 1447	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ∩ cin 3946  ∪ cuni 4908  dom cdm 5678  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  cardccrd 9958  CHOICEwac 10138  ∏_tcpt 17419  Compccmp 23289  UFLcufl 23803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-ac2 10486

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rpss 7728  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-fin 8967  df-fi 9434  df-wdom 9588  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-top 22795  df-topon 22812  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-cmp 23290  df-fil 23749  df-ufil 23804  df-ufl 23805  df-flim 23842  df-fcls 23844

This theorem is referenced by: (None)