MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcmp 24268
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . . . 5 (∏t𝐹) ∈ V
21uniex 7749 . . . 4 (∏t𝐹) ∈ V
3 axac3 10463 . . . . 5 CHOICE
4 acufl 24127 . . . . 5 (CHOICE → UFL = V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 UFL = V
62, 5eleqtrri 2864 . . 3 (∏t𝐹) ∈ UFL
7 cardeqv 10468 . . . 4 dom card = V
82, 7eleqtrri 2864 . . 3 (∏t𝐹) ∈ dom card
96, 8elini 4152 . 2 (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10 eqid 2765 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
11 eqid 2765 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
1210, 11ptcmpg 24267 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp ∧ (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
139, 12mp3an3 1479 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wa 401   = wceq 1570  wcel 2146  Vcvv 3457  cin 3905   cuni 4874  dom cdm 5663  wf 6536  cfv 6540  cardccrd 9937  CHOICEwac 10115  tcpt 17515  Compccmp 23595  UFLcufl 24110
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-ac2 10462
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-rpss 7730  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-fin 8953  df-fi 9378  df-wdom 9534  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-ac 10116  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-cmp 23596  df-fil 24056  df-ufil 24111  df-ufl 24112  df-flim 24149  df-fcls 24151
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator