Theorem ptcmp 23258

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6817	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7626	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 10270	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 23117	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2836	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 10275	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2836	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9	6, 8	elini 4133	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
12	10, 11	ptcmpg 23257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
13	9, 12	mp3an3 1450	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ∩ cin 3891  ∪ cuni 4844  dom cdm 5600  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  cardccrd 9741  CHOICEwac 9921  ∏_tcpt 17198  Compccmp 22586  UFLcufl 23100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-ac2 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-rpss 7608  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-fin 8768  df-fi 9218  df-wdom 9372  df-dju 9707  df-card 9745  df-acn 9748  df-ac 9922  df-topgen 17203  df-pt 17204  df-fbas 20643  df-fg 20644  df-top 22092  df-topon 22109  df-bases 22145  df-cld 22219  df-ntr 22220  df-cls 22221  df-nei 22298  df-cmp 22587  df-fil 23046  df-ufil 23101  df-ufl 23102  df-flim 23139  df-fcls 23141

This theorem is referenced by: (None)