Theorem ptcmp 23784

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6905	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7735	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 10463	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 23643	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2830	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 10468	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2830	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9	6, 8	elini 4194	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
12	10, 11	ptcmpg 23783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
13	9, 12	mp3an3 1448	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3948  ∪ cuni 4909  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  cardccrd 9934  CHOICEwac 10114  ∏_tcpt 17390  Compccmp 23112  UFLcufl 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-ac2 10462

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947  df-fi 9410  df-wdom 9564  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-cmp 23113  df-fil 23572  df-ufil 23627  df-ufl 23628  df-flim 23665  df-fcls 23667

This theorem is referenced by: (None)