Theorem ptcmp 22190

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6424	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7187	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 9574	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 22049	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2877	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 9579	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2877	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9		elin 3994	. . 3 ⊢ (∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card) ↔ (∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card))
10	6, 8, 9	mpbir2an 703	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
11		eqid 2799	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
12		eqid 2799	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
13	11, 12	ptcmpg 22189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
14	10, 13	mp3an3 1575	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385   ∩ cin 3768  ∪ cuni 4628  dom cdm 5312  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  cardccrd 9047  CHOICEwac 9224  ∏_tcpt 16414  Compccmp 21518  UFLcufl 22032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-ac2 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-rpss 7171  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-wdom 8706  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-cda 9278  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cmp 21519  df-fil 21978  df-ufil 22033  df-ufl 22034  df-flim 22071  df-fcls 22073

This theorem is referenced by: (None)