Theorem ptcmp 24389

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6906	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7765	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 10552	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 24248	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2862	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 10557	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2862	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9	6, 8	elini 4098	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
12	10, 11	ptcmpg 24388	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
13	9, 12	mp3an3 1479	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∩ cin 4091  ∪ cuni 4869  dom cdm 5654  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  cardccrd 10026  CHOICEwac 10204  ∏_tcpt 17621  Compccmp 23716  UFLcufl 24231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-ac2 10551

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-rpss 7746  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9413  df-wdom 9569  df-dju 9992  df-card 10030  df-acn 10033  df-ac 10205  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-cmp 23717  df-fil 24177  df-ufil 24232  df-ufl 24233  df-flim 24270  df-fcls 24272

This theorem is used by:  tmachlem-tpcomp  48087