Theorem ptcmp 23943

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7677	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 10358	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 23802	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 10363	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9	6, 8	elini 4150	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
12	10, 11	ptcmpg 23942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
13	9, 12	mp3an3 1452	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  cardccrd 9831  CHOICEwac 10009  ∏_tcpt 17342  Compccmp 23271  UFLcufl 23785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876  df-fi 9301  df-wdom 9457  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-cmp 23272  df-fil 23731  df-ufil 23786  df-ufl 23787  df-flim 23824  df-fcls 23826

This theorem is referenced by: (None)