Theorem ptcmp 24184

Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (∏t‘𝐹) ∈ V
2	1	uniex 7740	. . . 4 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ V
3		axac3 10448	. . . . 5 ⊢ CHOICE
4		acufl 24043	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → UFL = V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ UFL = V
6	2, 5	eleqtrri 2868	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ UFL
7		cardeqv 10453	. . . 4 ⊢ dom card = V
8	2, 7	eleqtrri 2868	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ dom card
9	6, 8	elini 4160	. 2 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (∏t‘𝐹) = (∏t‘𝐹)
11		eqid 2769	. . 3 ⊢ ∪ (∏t‘𝐹) = ∪ (∏t‘𝐹)
12	10, 11	ptcmpg 24183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp ∧ ∪ (∏t‘𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)
13	9, 12	mp3an3 1476	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t‘𝐹) ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∪ cuni 4876  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  cardccrd 9921  CHOICEwac 10099  ∏_tcpt 17491  Compccmp 23512  UFLcufl 24026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-ac2 10447

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-rpss 7721  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947  df-fi 9371  df-wdom 9527  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-cmp 23513  df-fil 23972  df-ufil 24027  df-ufl 24028  df-flim 24065  df-fcls 24067

This theorem is referenced by: (None)