Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp13l 1289 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β πΊ β π) |
2 | | cdlemk5.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemk5.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | cdlemk5.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | cdlemk5.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
6 | | cdlemk5.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemk5.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemk5.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk5.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
10 | | cdlemk5.z |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
11 | | cdlemk5.y |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
12 | | cdlemk5.x |
. . . . . 6
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
13 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemk36 39422 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β (πβπ) = π) |
14 | 13 | sbcth 3755 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β [πΊ / π]((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β (πβπ) = π)) |
15 | | sbcimg 3791 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π]((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β (πβπ) = π) β ([πΊ / π](((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β [πΊ / π](πβπ) = π))) |
16 | 14, 15 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β [πΊ / π](πβπ) = π)) |
17 | | eleq1 2822 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΊ β (π β π β πΊ β π)) |
18 | | neeq1 3003 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΊ β (π β ( I βΎ π΅) β πΊ β ( I βΎ π΅))) |
19 | 17, 18 | anbi12d 632 |
. . . . . 6
β’ (π = πΊ β ((π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)))) |
20 | 19 | 3anbi3d 1443 |
. . . . 5
β’ (π = πΊ β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))))) |
21 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . 8
β’ (π = πΊ β (π
βπ) = (π
βπΊ)) |
22 | 21 | neeq2d 3001 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΊ β ((π
βπ) β (π
βπ) β (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
23 | 22 | 3anbi3d 1443 |
. . . . . 6
β’ (π = πΊ β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) |
24 | 23 | anbi2d 630 |
. . . . 5
β’ (π = πΊ β ((π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ))) β (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))))) |
25 | 20, 24 | 3anbi13d 1439 |
. . . 4
β’ (π = πΊ β ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))))) |
26 | 25 | sbcieg 3780 |
. . 3
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)))) β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))))) |
27 | | sbceqg 4370 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](πβπ) = π β β¦πΊ / πβ¦(πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π)) |
28 | | csbfv12 6891 |
. . . . . 6
β’
β¦πΊ /
πβ¦(πβπ) = (β¦πΊ / πβ¦πββ¦πΊ / πβ¦π) |
29 | | csbconstg 3875 |
. . . . . . 7
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦π = π) |
30 | 29 | fveq2d 6847 |
. . . . . 6
β’ (πΊ β π β (β¦πΊ / πβ¦πββ¦πΊ / πβ¦π) = (β¦πΊ / πβ¦πβπ)) |
31 | 28, 30 | eqtrid 2785 |
. . . . 5
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦(πβπ) = (β¦πΊ / πβ¦πβπ)) |
32 | 31 | eqeq1d 2735 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β (β¦πΊ / πβ¦(πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π)) |
33 | 27, 32 | bitrd 279 |
. . 3
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](πβπ) = π β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π)) |
34 | 16, 26, 33 | 3imtr3d 293 |
. 2
β’ (πΊ β π β ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π)) |
35 | 1, 34 | mpcom 38 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (β¦πΊ / πβ¦πβπ) = β¦πΊ / πβ¦π) |