Theorem cdlemk42 41715

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 20-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk42	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌)

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13l 1307	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
2		cdlemk5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cdlemk5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cdlemk5.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6		cdlemk5.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemk5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemk5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemk5.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
11		cdlemk5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
12		cdlemk5.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
13	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemk36 41687	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) → (𝑋‘𝑃) = 𝑌)
14	13	sbcth 3759	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → [𝐺 / 𝑔]((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) → (𝑋‘𝑃) = 𝑌))
15		sbcimg 3792	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) → (𝑋‘𝑃) = 𝑌) ↔ ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) → [𝐺 / 𝑔](𝑋‘𝑃) = 𝑌)))
16	14, 15	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) → [𝐺 / 𝑔](𝑋‘𝑃) = 𝑌))
17		eleq1 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ 𝑇 ↔ 𝐺 ∈ 𝑇))
18		neeq1 3020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
19	17, 18	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
20	19	3anbi3d 1470	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))))
21		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑅‘𝑔) = (𝑅‘𝐺))
22	21	neeq2d 3018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔) ↔ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
23	22	3anbi3d 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) ↔ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))))
24	23	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔))) ↔ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))))
25	20, 24	3anbi13d 1466	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))))))
26	25	sbcieg 3783	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))))))
27		sbceqg 4377	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑋‘𝑃) = 𝑌 ↔ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌))
28		csbfv12 6926	. . . . . 6 ⊢ ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑋‘𝑃) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑃)
29		csbconstg 3872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑃 = 𝑃)
30	29	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑃) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃))
31	28, 30	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑋‘𝑃) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃))
32	31	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (⦋𝐺 / 𝑔⦌(𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌 ↔ (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌))
33	27, 32	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑋‘𝑃) = 𝑌 ↔ (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌))
34	16, 26, 33	3imtr3d 296	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌))
35	1, 34	mpcom 39	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  [wsbc 3744  ⦋csb 3853   class class class wbr 5109   I cid 5555  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362  meetcmee 18363  Atomscatm 40037  HLchlt 40124  LHypclh 40758  LTrncltrn 40875  trLctrl 40932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933

This theorem is referenced by:  cdlemk19xlem  41716  cdlemk42yN  41718  cdlemk11tc  41719  cdlemk43N  41737