Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk11t Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk11t 36925
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eq. 5, line 36, p. 119. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk11t ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺))))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk11t
StepHypRef Expression
1 simp11l 1383 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1384 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑊𝐻)
3 cdlemk5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cdlemk5.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemk5.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 cdlemk5.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6cdlemftr3 36544 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑏𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼))))
81, 2, 7syl2anc 579 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑏𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼))))
9 nfv 2009 . . 3 𝑏(((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
10 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑏𝐺
11 cdlemk5.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
12 nfra1 3088 . . . . . . . 8 𝑏𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)
13 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑏𝑇
1412, 13nfriota 6816 . . . . . . 7 𝑏(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
1511, 14nfcxfr 2905 . . . . . 6 𝑏𝑋
1610, 15nfcsb 3711 . . . . 5 𝑏𝐺 / 𝑔𝑋
17 nfcv 2907 . . . . 5 𝑏𝑃
1816, 17nffv 6389 . . . 4 𝑏(𝐺 / 𝑔𝑋𝑃)
19 nfcv 2907 . . . 4 𝑏
20 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑏𝐼
2120, 15nfcsb 3711 . . . . . 6 𝑏𝐼 / 𝑔𝑋
2221, 17nffv 6389 . . . . 5 𝑏(𝐼 / 𝑔𝑋𝑃)
23 nfcv 2907 . . . . 5 𝑏
24 nfcv 2907 . . . . 5 𝑏(𝑅‘(𝐼𝐺))
2522, 23, 24nfov 6876 . . . 4 𝑏((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺)))
2618, 19, 25nfbr 4858 . . 3 𝑏(𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺)))
27 simp11 1260 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
28 simp12 1261 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
29 simp2 1167 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → 𝑏𝑇)
30 simp3l 1258 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
31 simp3r1 1380 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))
32 simp3r2 1381 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))
3330, 31, 323jca 1158 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
34 simp13l 1387 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → 𝐼𝑇)
35 simp13r 1388 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
36 simp3r3 1382 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼))
3734, 35, 363jca 1158 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))
38 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
39 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
40 cdlemk5.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
41 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42 cdlemk5.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
43 cdlemk5.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
443, 38, 39, 40, 41, 4, 5, 6, 42, 43, 11cdlemk11tc 36924 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺))))
4527, 28, 29, 33, 37, 44syl113anc 1501 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺))))
46453exp 1148 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑏𝑇 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺))))))
479, 26, 46rexlimd 3173 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (∃𝑏𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺)))))
488, 47mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅‘(𝐼𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  csb 3693   class class class wbr 4811   I cid 5186  ccnv 5278  cres 5281  ccom 5283  cfv 6070  crio 6806  (class class class)co 6846  Basecbs 16146  lecple 16237  joincjn 17226  meetcmee 17227  Atomscatm 35242  HLchlt 35329  LHypclh 35963  LTrncltrn 36080  trLctrl 36137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-riotaBAD 34932
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-undef 7606  df-map 8066  df-proset 17210  df-poset 17228  df-plt 17240  df-lub 17256  df-glb 17257  df-join 17258  df-meet 17259  df-p0 17321  df-p1 17322  df-lat 17328  df-clat 17390  df-oposet 35155  df-ol 35157  df-oml 35158  df-covers 35245  df-ats 35246  df-atl 35277  df-cvlat 35301  df-hlat 35330  df-llines 35477  df-lplanes 35478  df-lvols 35479  df-lines 35480  df-psubsp 35482  df-pmap 35483  df-padd 35775  df-lhyp 35967  df-laut 35968  df-ldil 36083  df-ltrn 36084  df-trl 36138
This theorem is referenced by:  cdlemk45  36926
  Copyright terms: Public domain W3C validator