Theorem cdlemk11t 38887

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eq. 5, line 36, p. 119. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk11t	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk11t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1282	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp11r 1283	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		cdlemk5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cdlemk5.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemk5.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		cdlemk5.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	cdlemftr3 38506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))))
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))))
9		nfv 1918	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
10		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐺
11		cdlemk5.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
12		nfra1 3142	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌)
13		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑇
14	12, 13	nfriota 7225	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
15	11, 14	nfcxfr 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
16	10, 15	nfcsbw 3855	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋
17		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑃
18	16, 17	nffv 6766	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏(⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃)
19		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏 ≤
20		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏𝐼
21	20, 15	nfcsbw 3855	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋
22	21, 17	nffv 6766	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃)
23		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏 ∨
24		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))
25	22, 23, 24	nfov 7285	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺)))
26	18, 19, 25	nfbr 5117	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺)))
27		simp11 1201	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
28		simp12 1202	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
29		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
30		simp3l 1199	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
31		simp3r1 1279	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹))
32		simp3r2 1280	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))
33	30, 31, 32	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
34		simp13l 1286	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝐼 ∈ 𝑇)
35		simp13r 1287	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
36		simp3r3 1281	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))
37	34, 35, 36	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))
38		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
39		cdlemk5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
40		cdlemk5.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
41		cdlemk5.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42		cdlemk5.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
43		cdlemk5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
44	3, 38, 39, 40, 41, 4, 5, 6, 42, 43, 11	cdlemk11tc 38886	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))
45	27, 28, 29, 33, 37, 44	syl113anc 1380	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))
46	45	3exp 1117	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑏 ∈ 𝑇 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))))
47	9, 26, 46	rexlimd 3245	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺)))))
48	8, 47	mpd 15	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ⦋csb 3828   class class class wbr 5070   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  joincjn 17944  meetcmee 17945  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100

This theorem is referenced by:  cdlemk45  38888