Theorem cdlemk11t 42269

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eq. 5, line 36, p. 119. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk11t	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧, 𝑔, 𝑏)   𝑌(𝑔, 𝑏)   𝑍(𝑧, 𝑏)

Proof of Theorem cdlemk11t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1303	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp11r 1304	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		cdlemk5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		cdlemk5.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemk5.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		cdlemk5.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	cdlemftr3 41888	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))))
9		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
10		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐺
11		cdlemk5.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
12		nfra1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌)
13		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑇
14	12, 13	nfriota 7420	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
15	11, 14	nfcxfr 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
16	10, 15	nfcsbw 3877	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋
17		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑃
18	16, 17	nffv 6926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏(⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃)
19		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏 ≤
20		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏𝐼
21	20, 15	nfcsbw 3877	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋
22	21, 17	nffv 6926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃)
23		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏 ∨
24		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))
25	22, 23, 24	nfov 7481	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺)))
26	18, 19, 25	nfbr 5158	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺)))
27		simp11 1222	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
28		simp12 1223	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
29		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
30		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
31		simp3r1 1300	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹))
32		simp3r2 1301	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))
33	30, 31, 32	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
34		simp13l 1307	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝐼 ∈ 𝑇)
35		simp13r 1308	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
36		simp3r3 1302	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))
37	34, 35, 36	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))
38		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
39		cdlemk5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
40		cdlemk5.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
41		cdlemk5.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42		cdlemk5.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
43		cdlemk5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
44	3, 38, 39, 40, 41, 4, 5, 6, 42, 43, 11	cdlemk11tc 42268	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))
45	27, 28, 29, 33, 37, 44	syl113anc 1410	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))
46	45	3exp 1137	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑏 ∈ 𝑇 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))))
47	9, 26, 46	rexlimd 3273	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺)))))
48	8, 47	mpd 16	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ≤ ((⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐼 ∘ ◡𝐺))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ⦋csb 3851   class class class wbr 5108   I cid 5552  ^◡ccnv 5657   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  ℩crio 7407  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  joincjn 18535  meetcmee 18536  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  LHypclh 41307  LTrncltrn 41424  trLctrl 41481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-undef 8328  df-map 8887  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482

This theorem is used by:  cdlemk45  42270