Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn2a 41178
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn2a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn2a.l = (le‘𝐾)
cdlemn2a.j = (join‘𝐾)
cdlemn2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn2a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn2a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn2a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn2a.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn2a.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn2a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn2a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
cdlemn2a.f 𝐹 = (𝑇 (𝑄) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cdlemn2a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) ⊆ (𝐼𝑋))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,𝑓   ,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝐾   𝑄,   𝑆,   𝑇,𝑓   𝑇,   𝑓,𝑊   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵()   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓,)   𝐹(𝑓,)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓,)   (𝑓,)   (𝑓)   𝑁(𝑓,)   𝑂(𝑓,)   𝑋(𝑓,)

Proof of Theorem cdlemn2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
3 simp22 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
4 cdlemn2a.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
5 cdlemn2a.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemn2a.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemn2a.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemn2a.f . . . . 5 𝐹 = (𝑇 (𝑄) = 𝑆)
94, 5, 6, 7, 8ltrniotacl 40561 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐹𝑇)
101, 2, 3, 9syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → 𝐹𝑇)
11 cdlemn2a.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 cdlemn2a.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemn2a.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14 cdlemn2a.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemn2a.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemn2a.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1711, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 16dib1dim2 41150 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
181, 10, 17syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
19 cdlemn2a.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2011, 4, 19, 5, 6, 7, 12, 8cdlemn2 41177 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑅𝐹) 𝑋)
2111, 6, 7, 12trlcl 40146 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
221, 10, 21syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
234, 6, 7, 12trlle 40166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
241, 10, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
25 simp23 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
2611, 4, 6, 15dibord 41141 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑅𝐹)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑅𝐹) 𝑋))
271, 22, 24, 25, 26syl121anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → ((𝐼‘(𝑅𝐹)) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ (𝑅𝐹) 𝑋))
2820, 27mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) ⊆ (𝐼𝑋))
2918, 28eqsstrrd 4034 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑋)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) ⊆ (𝐼𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  {csn 4630  cop 4636   class class class wbr 5147  cmpt 5230   I cid 5581  cres 5690  cfv 6562  crio 7386  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  lecple 17304  joincjn 18368  LSpanclspn 20986  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  trLctrl 40140  DVecHcdvh 41060  DIsoBcdib 41120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17487  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tendo 40737  df-edring 40739  df-disoa 41011  df-dvech 41061  df-dib 41121
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  41182
  Copyright terms: Public domain W3C validator