Theorem decaddi 12239

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddi.5	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddi	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 11991	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12201	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 11988	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addid1i 10905	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9		decaddi.5	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	decadd 12233	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7170  0cc0 10615   + caddc 10618  ℕ₀cn0 11976  ;cdc 12179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-dec 12180

This theorem is referenced by:  4t4e16  12278  6t3e18  12284  7t4e28  12290  7t7e49  12293  2exp11  16526  2exp16  16527  17prm  16553  23prm  16555  prmlem2  16556  37prm  16557  83prm  16559  139prm  16560  163prm  16561  317prm  16562  631prm  16563  1259lem1  16567  1259lem2  16568  1259lem3  16569  1259lem4  16570  1259lem5  16571  1259prm  16572  2503lem1  16573  2503lem2  16574  2503lem3  16575  4001lem1  16577  4001lem2  16578  4001lem4  16580  4001prm  16581  log2ublem3  25686  log2ub  25687  birthday  25692  ex-fac  28388  hgt750lem2  32202  60lcm7e420  39638  420lcm8e840  39639  3exp7  39681  3lexlogpow5ineq1  39682  3lexlogpow5ineq5  39688  aks4d1p1p5  39702  decaddcom  39888  sqn5i  39889  sqdeccom12  39893  sq3deccom12  39894  235t711  39895  ex-decpmul  39896  resqrtvalex  40798  imsqrtvalex  40799  fmtno5lem1  44539  fmtno5lem2  44540  fmtno5lem4  44542  257prm  44547  fmtno4prmfac  44558  fmtno4nprmfac193  44560  fmtno5faclem1  44565  fmtno5faclem2  44566  fmtno5faclem3  44567  139prmALT  44582  127prm  44585  11t31e341  44718  ackval3012  45572  ackval41a  45574