Theorem decaddi 12787

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddi.5	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddi	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12530	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12749	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 12527	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 11408	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9		decaddi.5	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	decadd 12781	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  0cc0 11111   + caddc 11114  ℕ₀cn0 12515  ;cdc 12722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-dec 12723

This theorem is used by:  4t4e16  12826  6t3e18  12832  7t4e28  12838  7t7e49  12841  2exp11  17166  2exp16  17167  17prm  17194  23prm  17196  prmlem2  17197  37prm  17198  83prm  17200  139prm  17201  163prm  17202  317prm  17203  631prm  17204  1259lem1  17208  1259lem2  17209  1259lem3  17210  1259lem4  17211  1259lem5  17212  1259prm  17213  2503lem1  17214  2503lem2  17215  2503lem3  17216  4001lem1  17218  4001lem2  17219  4001lem4  17221  4001prm  17222  log2ublem3  27142  log2ub  27143  birthday  27148  ex-fac  30831  hgt750lem2  35063  60lcm7e420  42810  420lcm8e840  42811  3exp7  42853  3lexlogpow5ineq1  42854  3lexlogpow5ineq5  42860  aks4d1p1p5  42875  decaddcom  43078  sqn5i  43079  sqdeccom12  43083  sq3deccom12  43084  235t711  43099  ex-decpmul  43100  resqrtvalex  44404  imsqrtvalex  44405  fmtno5lem1  48338  fmtno5lem2  48339  fmtno5lem4  48341  257prm  48346  fmtno4prmfac  48357  fmtno4nprmfac193  48359  fmtno5faclem1  48364  fmtno5faclem2  48365  fmtno5faclem3  48366  139prmALT  48381  127prm  48384  11t31e341  48530  ackval3012  49505  ackval41a  49507