Theorem decaddi 12658

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddi.5	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddi	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12407	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12620	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 12404	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 11311	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9		decaddi.5	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	decadd 12652	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  0cc0 11017   + caddc 11020  ℕ₀cn0 12392  ;cdc 12598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-dec 12599

This theorem is referenced by:  4t4e16  12697  6t3e18  12703  7t4e28  12709  7t7e49  12712  2exp11  17008  2exp16  17009  17prm  17035  23prm  17037  prmlem2  17038  37prm  17039  83prm  17041  139prm  17042  163prm  17043  317prm  17044  631prm  17045  1259lem1  17049  1259lem2  17050  1259lem3  17051  1259lem4  17052  1259lem5  17053  1259prm  17054  2503lem1  17055  2503lem2  17056  2503lem3  17057  4001lem1  17059  4001lem2  17060  4001lem4  17062  4001prm  17063  log2ublem3  26905  log2ub  26906  birthday  26911  ex-fac  30452  hgt750lem2  34737  60lcm7e420  42176  420lcm8e840  42177  3exp7  42219  3lexlogpow5ineq1  42220  3lexlogpow5ineq5  42226  aks4d1p1p5  42241  decaddcom  42454  sqn5i  42455  sqdeccom12  42459  sq3deccom12  42460  235t711  42475  ex-decpmul  42476  resqrtvalex  43802  imsqrtvalex  43803  fmtno5lem1  47715  fmtno5lem2  47716  fmtno5lem4  47718  257prm  47723  fmtno4prmfac  47734  fmtno4nprmfac193  47736  fmtno5faclem1  47741  fmtno5faclem2  47742  fmtno5faclem3  47743  139prmALT  47758  127prm  47761  11t31e341  47894  ackval3012  48854  ackval41a  48856