MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decaddi 11801
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4 𝑀 = 𝐴𝐵
decaddi.5 (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decaddi (𝑀 + 𝑁) = 𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decaddi.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 0nn0 11555 . 2 0 ∈ ℕ0
4 decaddi.3 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
5 decaddi.4 . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
64dec0h 11763 . 2 𝑁 = 0𝑁
71nn0cni 11551 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
87addid1i 10477 . 2 (𝐴 + 0) = 𝐴
9 decaddi.5 . 2 (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9decadd 11795 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6842  0cc0 10189   + caddc 10192  0cn0 11538  cdc 11740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-dec 11741
This theorem is referenced by:  4t4e16  11840  6t3e18  11846  7t4e28  11852  7t7e49  11855  2exp16  16071  17prm  16097  23prm  16099  prmlem2  16100  37prm  16101  83prm  16103  139prm  16104  163prm  16105  317prm  16106  631prm  16107  1259lem1  16111  1259lem2  16112  1259lem3  16113  1259lem4  16114  1259lem5  16115  1259prm  16116  2503lem1  16117  2503lem2  16118  2503lem3  16119  4001lem1  16121  4001lem2  16122  4001lem4  16124  4001prm  16125  log2ublem3  24966  log2ub  24967  birthday  24972  ex-fac  27767  hgt750lem2  31181  sqn5i  37922  fmtno5lem1  42141  fmtno5lem2  42142  fmtno5lem4  42144  257prm  42149  fmtno4prmfac  42160  fmtno4nprmfac193  42162  fmtno5faclem1  42167  fmtno5faclem2  42168  fmtno5faclem3  42169  139prmALT  42187  127prm  42191  2exp11  42193
  Copyright terms: Public domain W3C validator