Theorem decaddi 12775

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddi.5	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddi	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12518	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12737	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 12515	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 11396	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9		decaddi.5	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	decadd 12769	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  0cc0 11099   + caddc 11102  ℕ₀cn0 12503  ;cdc 12710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-dec 12711

This theorem is referenced by:  4t4e16  12814  6t3e18  12820  7t4e28  12826  7t7e49  12829  2exp11  17148  2exp16  17149  17prm  17176  23prm  17178  prmlem2  17179  37prm  17180  83prm  17182  139prm  17183  163prm  17184  317prm  17185  631prm  17186  1259lem1  17190  1259lem2  17191  1259lem3  17192  1259lem4  17193  1259lem5  17194  1259prm  17195  2503lem1  17196  2503lem2  17197  2503lem3  17198  4001lem1  17200  4001lem2  17201  4001lem4  17203  4001prm  17204  log2ublem3  27089  log2ub  27090  birthday  27095  ex-fac  30768  hgt750lem2  35005  60lcm7e420  42723  420lcm8e840  42724  3exp7  42766  3lexlogpow5ineq1  42767  3lexlogpow5ineq5  42773  aks4d1p1p5  42788  decaddcom  42991  sqn5i  42992  sqdeccom12  42996  sq3deccom12  42997  235t711  43012  ex-decpmul  43013  resqrtvalex  44319  imsqrtvalex  44320  fmtno5lem1  48250  fmtno5lem2  48251  fmtno5lem4  48253  257prm  48258  fmtno4prmfac  48269  fmtno4nprmfac193  48271  fmtno5faclem1  48276  fmtno5faclem2  48277  fmtno5faclem3  48278  139prmALT  48293  127prm  48296  11t31e341  48442  ackval3012  49417  ackval41a  49419