Theorem decpmul 41865

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmul.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
decpmul.4	⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
decpmul.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decpmul.h	⊢ 𝐻 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decpmul	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Proof of Theorem decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decpmulnc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
6		decpmulnc.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
7		decpmul.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decpmulnc 41864	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻
9		dfdec10 12716	. 2 ⊢ ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻 = ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻)
10	1, 3	nn0mulcli 12546	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
11	5, 10	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	2, 3	nn0mulcli 12546	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
13	1, 4, 12	numcl 12726	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℕ0
14	6, 13	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;𝐸𝐹 ∈ ℕ0
16		0nn0 12523	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		decpmul.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
18		decpmul.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
19	15	dec0u 12734	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐸𝐹) = ;;𝐸𝐹0
20		eqid 2727	. . 3 ⊢ ;𝐺𝐻 = ;𝐺𝐻
21	11, 14, 17	decaddcom 41861	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = (;𝐸𝐺 + 𝐹)
22		decpmul.4	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
23	21, 22	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = 𝐼
24	18	nn0cni 12520	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11438	. . 3 ⊢ (0 + 𝐻) = 𝐻
26	15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25	decadd 12767	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻) = ;𝐼𝐻
27	8, 9, 26	3eqtri 2759	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149  ℕ₀cn0 12508  ;cdc 12713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-dec 12714

This theorem is referenced by:  ex-decpmul  41871