Theorem decpmul 38154

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmul.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
decpmul.4	⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
decpmul.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decpmul.h	⊢ 𝐻 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decpmul	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Proof of Theorem decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decpmulnc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
6		decpmulnc.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
7		decpmul.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decpmulnc 38153	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻
9		dfdec10 11848	. 2 ⊢ ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻 = ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻)
10	1, 3	nn0mulcli 11682	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
11	5, 10	eqeltrri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	2, 3	nn0mulcli 11682	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
13	1, 4, 12	numcl 11858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℕ0
14	6, 13	eqeltrri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 11860	. . 3 ⊢ ;𝐸𝐹 ∈ ℕ0
16		0nn0 11659	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		decpmul.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
18		decpmul.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
19	15	dec0u 11867	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐸𝐹) = ;;𝐸𝐹0
20		eqid 2778	. . 3 ⊢ ;𝐺𝐻 = ;𝐺𝐻
21	11, 14, 17	decaddcom 38150	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = (;𝐸𝐺 + 𝐹)
22		decpmul.4	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
23	21, 22	eqtri 2802	. . 3 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = 𝐼
24	18	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
25	24	addid2i 10564	. . 3 ⊢ (0 + 𝐻) = 𝐻
26	15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25	decadd 11900	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻) = ;𝐼𝐻
27	8, 9, 26	3eqtri 2806	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  ℕ₀cn0 11642  ;cdc 11845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-dec 11846

This theorem is referenced by:  ex-decpmul  38158