Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  decpmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmul 41739
Description: Partial products algorithm for two digit multiplication. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmulnc.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decpmulnc.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decpmulnc.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
decpmulnc.d ๐ท โˆˆ โ„•0
decpmulnc.1 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐ธ
decpmulnc.2 ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) = ๐น
decpmul.3 (๐ต ยท ๐ท) = ๐บ๐ป
decpmul.4 (๐ธ๐บ + ๐น) = ๐ผ
decpmul.g ๐บ โˆˆ โ„•0
decpmul.h ๐ป โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
decpmul (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท) = ๐ผ๐ป

Proof of Theorem decpmul
StepHypRef Expression
1 decpmulnc.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 decpmulnc.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
3 decpmulnc.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
4 decpmulnc.d . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
5 decpmulnc.1 . . 3 (๐ด ยท ๐ถ) = ๐ธ
6 decpmulnc.2 . . 3 ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) = ๐น
7 decpmul.3 . . 3 (๐ต ยท ๐ท) = ๐บ๐ป
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7decpmulnc 41738 . 2 (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท) = ๐ธ๐น๐บ๐ป
9 dfdec10 12681 . 2 ๐ธ๐น๐บ๐ป = ((10 ยท ๐ธ๐น) + ๐บ๐ป)
101, 3nn0mulcli 12511 . . . . 5 (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0
115, 10eqeltrri 2824 . . . 4 ๐ธ โˆˆ โ„•0
122, 3nn0mulcli 12511 . . . . . 6 (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0
131, 4, 12numcl 12691 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„•0
146, 13eqeltrri 2824 . . . 4 ๐น โˆˆ โ„•0
1511, 14deccl 12693 . . 3 ๐ธ๐น โˆˆ โ„•0
16 0nn0 12488 . . 3 0 โˆˆ โ„•0
17 decpmul.g . . 3 ๐บ โˆˆ โ„•0
18 decpmul.h . . 3 ๐ป โˆˆ โ„•0
1915dec0u 12699 . . 3 (10 ยท ๐ธ๐น) = ๐ธ๐น0
20 eqid 2726 . . 3 ๐บ๐ป = ๐บ๐ป
2111, 14, 17decaddcom 41735 . . . 4 (๐ธ๐น + ๐บ) = (๐ธ๐บ + ๐น)
22 decpmul.4 . . . 4 (๐ธ๐บ + ๐น) = ๐ผ
2321, 22eqtri 2754 . . 3 (๐ธ๐น + ๐บ) = ๐ผ
2418nn0cni 12485 . . . 4 ๐ป โˆˆ โ„‚
2524addlidi 11403 . . 3 (0 + ๐ป) = ๐ป
2615, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25decadd 12732 . 2 ((10 ยท ๐ธ๐น) + ๐บ๐ป) = ๐ผ๐ป
278, 9, 263eqtri 2758 1 (๐ด๐ต ยท ๐ถ๐ท) = ๐ผ๐ป
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473  cdc 12678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-dec 12679
This theorem is referenced by:  ex-decpmul  41745
  Copyright terms: Public domain W3C validator