Theorem decpmul 42276

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmul.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
decpmul.4	⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
decpmul.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decpmul.h	⊢ 𝐻 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decpmul	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Proof of Theorem decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decpmulnc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
6		decpmulnc.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
7		decpmul.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decpmulnc 42275	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻
9		dfdec10 12652	. 2 ⊢ ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻 = ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻)
10	1, 3	nn0mulcli 12480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
11	5, 10	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	2, 3	nn0mulcli 12480	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
13	1, 4, 12	numcl 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℕ0
14	6, 13	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;𝐸𝐹 ∈ ℕ0
16		0nn0 12457	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		decpmul.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
18		decpmul.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
19	15	dec0u 12670	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐸𝐹) = ;;𝐸𝐹0
20		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;𝐺𝐻 = ;𝐺𝐻
21	11, 14, 17	decaddcom 42272	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = (;𝐸𝐺 + 𝐹)
22		decpmul.4	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
23	21, 22	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = 𝐼
24	18	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11362	. . 3 ⊢ (0 + 𝐻) = 𝐻
26	15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25	decadd 12703	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻) = ;𝐼𝐻
27	8, 9, 26	3eqtri 2756	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650

This theorem is referenced by:  ex-decpmul  42294