Theorem decpmul 41202

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication. (Contributed by Steven Nguyen, 10-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmul.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
decpmul.4	⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
decpmul.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decpmul.h	⊢ 𝐻 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decpmul	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Proof of Theorem decpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decpmulnc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
6		decpmulnc.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
7		decpmul.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = ;𝐺𝐻
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decpmulnc 41201	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻
9		dfdec10 12679	. 2 ⊢ ;;𝐸𝐹;𝐺𝐻 = ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻)
10	1, 3	nn0mulcli 12509	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℕ0
11	5, 10	eqeltrri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	2, 3	nn0mulcli 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
13	1, 4, 12	numcl 12689	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℕ0
14	6, 13	eqeltrri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 12691	. . 3 ⊢ ;𝐸𝐹 ∈ ℕ0
16		0nn0 12486	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		decpmul.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
18		decpmul.h	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
19	15	dec0u 12697	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐸𝐹) = ;;𝐸𝐹0
20		eqid 2732	. . 3 ⊢ ;𝐺𝐻 = ;𝐺𝐻
21	11, 14, 17	decaddcom 41198	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = (;𝐸𝐺 + 𝐹)
22		decpmul.4	. . . 4 ⊢ (;𝐸𝐺 + 𝐹) = 𝐼
23	21, 22	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (;𝐸𝐹 + 𝐺) = 𝐼
24	18	nn0cni 12483	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11401	. . 3 ⊢ (0 + 𝐻) = 𝐻
26	15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25	decadd 12730	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐸𝐹) + ;𝐺𝐻) = ;𝐼𝐻
27	8, 9, 26	3eqtri 2764	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;𝐼𝐻

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  ℕ₀cn0 12471  ;cdc 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677

This theorem is referenced by:  ex-decpmul  41206