MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomi 10820
Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addcomi (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)

Proof of Theorem addcomi
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 addcom 10815 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
41, 2, 3mp2an 691 1 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524   + caddc 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  addcomli  10821  fztpval  12964  fzo1to4tp  13120  ef01bndlem  15529  modxai  16394  pcoass  23629  tangtx  25098  eff1o  25141  log2ublem2  25533  basellem9  25674  ppiub  25788  bposlem8  25875  lgsdir2lem2  25910  lgsdir2lem3  25911  lgsdir2lem5  25913  ax5seglem7  26729  ipasslem10  28622  normlem2  28894  normlem3  28895  norm-ii-i  28920  normpar2i  28939  dpmul4  30616  hgt750lem2  32033  problem3  33020  problem5  33022  quad3  33023  mblfinlem3  35093  fdc  35180  addcomnni  39270  gcdaddmzz2nncomi  39280  2xp3dxp2ge1d  39382  decaddcom  39473  sqdeccom12  39478  stoweidlem13  42650  fourierdlem24  42768  3exp4mod41  44129  comraddi  45292
  Copyright terms: Public domain W3C validator