Theorem addcomi 11337

Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
addcomi	⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)

Proof of Theorem addcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		addcom 11332	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  addcomli  11338  comraddi  11361  fztpval  13540  fzo1to4tp  13709  ef01bndlem  16151  modxai  17039  pcoass  24991  tangtx  26469  eff1o  26513  log2ublem2  26911  basellem9  27052  ppiub  27167  bposlem8  27254  lgsdir2lem2  27289  lgsdir2lem3  27290  lgsdir2lem5  27292  ax5seglem7  29004  ipasslem10  30910  normlem2  31182  normlem3  31183  norm-ii-i  31208  normpar2i  31227  dpmul4  32973  cos9thpiminplylem5  33930  hgt750lem2  34796  problem3  35849  problem5  35851  quad3  35852  mblfinlem3  37980  fdc  38066  addcomnni  42424  gcdaddmzz2nncomi  42434  aks4d1p1p4  42510  decaddcom  42716  sqdeccom12  42721  stoweidlem13  46441  fourierdlem24  46559  3exp4mod41  48073