Theorem addcomi 11502

Description: Addition is commutative. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
addcomi	⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)

Proof of Theorem addcomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		addcom 11497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11199   + caddc 11204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-ltxr 11349

This theorem is used by:  addcomli  11503  comraddi  11526  fztpval  13721  fzo1to4tp  13890  ef01bndlem  16353  modxai  17247  pcoass  25346  tangtx  26835  eff1o  26878  log2ublem2  27276  basellem9  27417  ppiub  27532  bposlem8  27619  lgsdir2lem2  27654  lgsdir2lem3  27655  lgsdir2lem5  27657  ax5seglem7  29514  ipasslem10  31442  normlem2  31714  normlem3  31715  norm-ii-i  31740  normpar2i  31759  dpmul4  33523  cos9thpiminplylem5  34461  hgt750lem2  35324  problem3  36501  problem5  36503  quad3  36504  mblfinlem3  38653  fdc  38755  addcomnni  43111  gcdaddmzz2nncomi  43121  aks4d1p1p4  43197  decaddcom  43417  sqdeccom12  43422  stoweidlem13  47099  fourierdlem24  47217  3exp4mod41  48777