Theorem dfuniv2 44747

Description: Alternative definition of Univ using only simple defined symbols. (Contributed by Rohan Ridenour, 10-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfuniv2	⊢ Univ = {𝑦 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))}

Distinct variable group:   𝑤,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfuniv2

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑙 𝑚 𝑛 𝑝 𝑟 𝑢 𝑞 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grumnueq 44732	. . . . 5 ⊢ Univ = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2	1	ismnu 44706	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑓∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑤 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑧 (∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑖 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ∈ 𝑓) → ∃𝑢 ∈ 𝑓 (𝑖 ∈ 𝑢 ∧ ∪ 𝑢 ⊆ 𝑤))))))
3	2	elv 3435	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑓∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑤 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑧 (∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑖 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ∈ 𝑓) → ∃𝑢 ∈ 𝑓 (𝑖 ∈ 𝑢 ∧ ∪ 𝑢 ⊆ 𝑤)))))
4		ismnushort 44746	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)) ↔ (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑓∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑤 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑧 (∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑖 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ∈ 𝑓) → ∃𝑢 ∈ 𝑓 (𝑖 ∈ 𝑢 ∧ ∪ 𝑢 ⊆ 𝑤)))))
5	4	ralbii 3084	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑓∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ 𝑤 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑧 (∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑖 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ∈ 𝑓) → ∃𝑢 ∈ 𝑓 (𝑖 ∈ 𝑢 ∧ ∪ 𝑢 ⊆ 𝑤)))))
6	3, 5	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)))
7	6	eqabi 2872	1 ⊢ Univ = {𝑦 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))}

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  Univcgru 10704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-tc 9647  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-cf 9856  df-acn 9857  df-ac 10029  df-wina 10598  df-ina 10599  df-gru 10705  df-scott 44681  df-coll 44696

This theorem is referenced by:  rr-grothshortbi  44748