Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rr-grothshortbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rr-grothshortbi 44322
Description: Express "every set is contained in a Grothendieck universe" in a short form while avoiding complicated definitions. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
rr-grothshortbi (∀𝑥𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
Distinct variable group:   𝑤,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem rr-grothshortbi
StepHypRef Expression
1 df-rex 3071 . . 3 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦))
2 exancom 1861 . . 3 (∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ))
3 dfuniv2 44321 . . . . . 6 Univ = {𝑦 ∣ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))}
43eqabri 2885 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)))
54anbi2i 623 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
65exbii 1848 . . 3 (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦 ∈ Univ) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
71, 2, 63bitri 297 . 2 (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
87albii 1819 1 (∀𝑥𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦𝑓 ∈ 𝒫 𝑦𝑤𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦𝑤) ∧ (𝑧 𝑓) ⊆ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wal 1538  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  Univcgru 10830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-tc 9777  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725  df-gru 10831  df-scott 44255  df-coll 44270
This theorem is referenced by:  rr-grothshort  44323
  Copyright terms: Public domain W3C validator