Theorem rr-grothshortbi 41921

Description: Express "every set is contained in a Grothendieck universe" in a short form while avoiding complicated definitions. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rr-grothshortbi	⊢ (∀𝑥∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))

Distinct variable group:   𝑤,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem rr-grothshortbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3070	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
2		exancom 1864	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ Univ))
3		dfuniv2 41920	. . . . . 6 ⊢ Univ = {𝑦 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))}
4	3	abeq2i 2875	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Univ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤)))
5	4	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ Univ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
6	5	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ Univ) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
7	1, 2, 6	3bitri 297	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))
8	7	albii 1822	1 ⊢ (∀𝑥∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑦∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝒫 𝑧 ⊆ (𝑦 ∩ 𝑤) ∧ (𝑧 ∩ ∪ 𝑓) ⊆ ∪ (𝑓 ∩ 𝒫 𝒫 𝑤))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1537  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  Univcgru 10546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-tc 9495  df-r1 9522  df-rank 9523  df-card 9697  df-cf 9699  df-acn 9700  df-ac 9872  df-wina 10440  df-ina 10441  df-gru 10547  df-scott 41854  df-coll 41869

This theorem is referenced by:  rr-grothshort  41922