Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elnanelprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnanelprv 33914
Description: The wff (𝐴𝐵𝐵𝐴) encoded as ((𝐴𝑔𝐵) 𝑔(𝐵𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9540. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
elnanelprv ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀𝑉)
2 3simpc 1150 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3 pm3.22 460 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
433adant1 1130 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 eqid 2736 . . . . 5 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) = ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))
65satefvfmla1 33910 . . . 4 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
71, 2, 4, 6syl3anc 1371 . . 3 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
8 elnanel 9540 . . . . . 6 ((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
9 nanor 1493 . . . . . 6 (((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)) ↔ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
108, 9mpbi 229 . . . . 5 (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
1110a1i 11 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝑀m ω) → (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
1211rabeqc 3418 . . 3 {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))} = (𝑀m ω)
137, 12eqtrdi 2792 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω))
14 ovex 7387 . . 3 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V
15 prv 33913 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
161, 14, 15sylancl 586 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
1713, 16mpbird 256 1 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wnan 1489   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3406  Vcvv 3444   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7354  ωcom 7799  m cmap 8762  𝑔cgoe 33818  𝑔cgna 33819   Sat csate 33823  cprv 33824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-reg 9525  ax-inf2 9574  ax-ac2 10396
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-nan 1490  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-card 9872  df-ac 10049  df-goel 33825  df-gona 33826  df-goal 33827  df-sat 33828  df-sate 33829  df-fmla 33830  df-prv 33831
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator