Theorem elnanelprv 35572

Description: The wff (𝐴 ∈ 𝐵 ⊼ 𝐵 ∈ 𝐴) encoded as ((𝐴∈_𝑔𝐵) ⊼_𝑔(𝐵∈_𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9514. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elnanelprv	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		3simpc 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3		pm3.22 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
4	3	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) = ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))
6	5	satefvfmla1 35568	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
8		elnanel 9514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
9		nanor 1496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
10	8, 9	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
12	11	rabeqc 3409	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))} = (𝑀 ↑m ω)
13	7, 12	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω))
14		ovex 7389	. . 3 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V
15		prv 35571	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
16	1, 14, 15	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
17	13, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ⊼ wnan 1492   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806   ↑_m cmap 8761  ∈_𝑔cgoe 35476  ⊼_𝑔cgna 35477   Sat_∈ csate 35481  ⊧cprv 35482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-nan 1493  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-ac 10024  df-goel 35483  df-gona 35484  df-goal 35485  df-sat 35486  df-sate 35487  df-fmla 35488  df-prv 35489

This theorem is referenced by: (None)