Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elnanelprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnanelprv 32855
 Description: The wff (𝐴 ∈ 𝐵 ⊼ 𝐵 ∈ 𝐴) encoded as ((𝐴∈𝑔𝐵) ⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9072. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
elnanelprv ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀𝑉)
2 3simpc 1147 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3 pm3.22 463 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
433adant1 1127 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 eqid 2798 . . . . 5 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) = ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))
65satefvfmla1 32851 . . . 4 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
71, 2, 4, 6syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
8 elnanel 9072 . . . . . 6 ((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
9 nanor 1486 . . . . . 6 (((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)) ↔ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
108, 9mpbi 233 . . . . 5 (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
1110a1i 11 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝑀m ω) → (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
1211rabeqc 3628 . . 3 {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))} = (𝑀m ω)
137, 12eqtrdi 2849 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω))
14 ovex 7178 . . 3 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V
15 prv 32854 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
161, 14, 15sylancl 589 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
1713, 16mpbird 260 1 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ⊼ wnan 1482   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3442   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ωcom 7573   ↑m cmap 8407  ∈𝑔cgoe 32759  ⊼𝑔cgna 32760   Sat∈ csate 32764  ⊧cprv 32765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-reg 9058  ax-inf2 9106  ax-ac2 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-nan 1483  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-card 9370  df-ac 9545  df-goel 32766  df-gona 32767  df-goal 32768  df-sat 32769  df-sate 32770  df-fmla 32771  df-prv 32772 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator