Theorem elnanelprv 33104

Description: The wff (𝐴 ∈ 𝐵 ⊼ 𝐵 ∈ 𝐴) encoded as ((𝐴∈_𝑔𝐵) ⊼_𝑔(𝐵∈_𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9222. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elnanelprv	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		3simpc 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3		pm3.22 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
4	3	3adant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) = ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))
6	5	satefvfmla1 33100	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
8		elnanel 9222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
9		nanor 1491	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
10	8, 9	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
12	11	rabeqc 3600	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))} = (𝑀 ↑m ω)
13	7, 12	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω))
14		ovex 7246	. . 3 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V
15		prv 33103	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
16	1, 14, 15	sylancl 589	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
17	13, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   ⊼ wnan 1487   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ωcom 7644   ↑_m cmap 8508  ∈_𝑔cgoe 33008  ⊼_𝑔cgna 33009   Sat_∈ csate 33013  ⊧cprv 33014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-reg 9208  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-nan 1488  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-card 9555  df-ac 9730  df-goel 33015  df-gona 33016  df-goal 33017  df-sat 33018  df-sate 33019  df-fmla 33020  df-prv 33021

This theorem is referenced by: (None)