Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elnanelprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnanelprv 34087
Description: The wff (𝐴𝐵𝐵𝐴) encoded as ((𝐴𝑔𝐵) 𝑔(𝐵𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9551. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
elnanelprv ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀𝑉)
2 3simpc 1151 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3 pm3.22 461 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
433adant1 1131 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 eqid 2733 . . . . 5 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) = ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))
65satefvfmla1 34083 . . . 4 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
71, 2, 4, 6syl3anc 1372 . . 3 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
8 elnanel 9551 . . . . . 6 ((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
9 nanor 1494 . . . . . 6 (((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)) ↔ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
108, 9mpbi 229 . . . . 5 (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
1110a1i 11 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝑀m ω) → (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
1211rabeqc 3418 . . 3 {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))} = (𝑀m ω)
137, 12eqtrdi 2789 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω))
14 ovex 7394 . . 3 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V
15 prv 34086 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
161, 14, 15sylancl 587 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
1713, 16mpbird 257 1 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wnan 1490   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  ωcom 7806  m cmap 8771  𝑔cgoe 33991  𝑔cgna 33992   Sat csate 33996  cprv 33997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-nan 1491  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-ac 10060  df-goel 33998  df-gona 33999  df-goal 34000  df-sat 34001  df-sate 34002  df-fmla 34003  df-prv 34004
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator