Theorem elnanelprv 35473

Description: The wff (𝐴 ∈ 𝐵 ⊼ 𝐵 ∈ 𝐴) encoded as ((𝐴∈_𝑔𝐵) ⊼_𝑔(𝐵∈_𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9497. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elnanelprv	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		3simpc 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3		pm3.22 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
4	3	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) = ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))
6	5	satefvfmla1 35469	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
8		elnanel 9497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
9		nanor 1496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
10	8, 9	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
12	11	rabeqc 3407	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))} = (𝑀 ↑m ω)
13	7, 12	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω))
14		ovex 7379	. . 3 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V
15		prv 35472	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
16	1, 14, 15	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
17	13, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ⊼ wnan 1492   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ↑_m cmap 8750  ∈_𝑔cgoe 35377  ⊼_𝑔cgna 35378   Sat_∈ csate 35382  ⊧cprv 35383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-nan 1493  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-ac 10007  df-goel 35384  df-gona 35385  df-goal 35386  df-sat 35387  df-sate 35388  df-fmla 35389  df-prv 35390

This theorem is referenced by: (None)