Theorem elnanelprv 35820

Description: The wff (𝐴 ∈ 𝐵 ⊼ 𝐵 ∈ 𝐴) encoded as ((𝐴∈_𝑔𝐵) ⊼_𝑔(𝐵∈_𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9576. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elnanelprv	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		3simpc 1166	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3		pm3.22 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
4	3	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) = ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))
6	5	satefvfmla1 35816	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
8		elnanel 9576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
9		nanor 1522	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
10	8, 9	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
12	11	rabeqc 3435	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))} = (𝑀 ↑m ω)
13	7, 12	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω))
14		ovex 7444	. . 3 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V
15		prv 35819	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
16	1, 14, 15	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
17	13, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   ⊼ wnan 1518   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7862   ↑_m cmap 8824  ∈_𝑔cgoe 35724  ⊼_𝑔cgna 35725   Sat_∈ csate 35729  ⊧cprv 35730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610  ax-ac2 10447

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-nan 1519  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-ac 10100  df-goel 35731  df-gona 35732  df-goal 35733  df-sat 35734  df-sate 35735  df-fmla 35736  df-prv 35737

This theorem is referenced by: (None)