Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elnanelprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnanelprv 35434
Description: The wff (𝐴𝐵𝐵𝐴) encoded as ((𝐴𝑔𝐵) 𝑔(𝐵𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9647. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
elnanelprv ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀𝑉)
2 3simpc 1151 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3 pm3.22 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
433adant1 1131 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 eqid 2737 . . . . 5 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) = ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))
65satefvfmla1 35430 . . . 4 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
71, 2, 4, 6syl3anc 1373 . . 3 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))})
8 elnanel 9647 . . . . . 6 ((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
9 nanor 1495 . . . . . 6 (((𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ⊼ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)) ↔ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
108, 9mpbi 230 . . . . 5 (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))
1110a1i 11 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝑀m ω) → (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴)))
1211rabeqc 3449 . . 3 {𝑎 ∈ (𝑀m ω) ∣ (¬ (𝑎𝐴) ∈ (𝑎𝐵) ∨ ¬ (𝑎𝐵) ∈ (𝑎𝐴))} = (𝑀m ω)
137, 12eqtrdi 2793 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω))
14 ovex 7464 . . 3 ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V
15 prv 35433 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
161, 14, 15sylancl 586 . 2 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat ((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴))) = (𝑀m ω)))
1713, 16mpbird 257 1 ((𝑀𝑉𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵𝑔𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087  wnan 1491   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  m cmap 8866  𝑔cgoe 35338  𝑔cgna 35339   Sat csate 35343  cprv 35344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-nan 1492  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-ac 10156  df-goel 35345  df-gona 35346  df-goal 35347  df-sat 35348  df-sate 35349  df-fmla 35350  df-prv 35351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator