Theorem elnanelprv 35397

Description: The wff (𝐴 ∈ 𝐵 ⊼ 𝐵 ∈ 𝐴) encoded as ((𝐴∈_𝑔𝐵) ⊼_𝑔(𝐵∈_𝑔𝐴)) is true in any model 𝑀. This is the model theoretic proof of elnanel 9676. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
elnanelprv	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Proof of Theorem elnanelprv

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		3simpc 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3		pm3.22 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
4	3	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) = ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))
6	5	satefvfmla1 35393	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))})
8		elnanel 9676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
9		nanor 1492	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ⊼ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
10	8, 9	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴)))
12	11	rabeqc 3456	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐴) ∈ (𝑎‘𝐵) ∨ ¬ (𝑎‘𝐵) ∈ (𝑎‘𝐴))} = (𝑀 ↑m ω)
13	7, 12	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω))
14		ovex 7481	. . 3 ⊢ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V
15		prv 35396	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ∈ V) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
16	1, 14, 15	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)) ↔ (𝑀 Sat∈ ((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴))) = (𝑀 ↑m ω)))
17	13, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝑀⊧((𝐴∈𝑔𝐵)⊼𝑔(𝐵∈𝑔𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   ⊼ wnan 1488   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ↑_m cmap 8884  ∈_𝑔cgoe 35301  ⊼_𝑔cgna 35302   Sat_∈ csate 35306  ⊧cprv 35307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-nan 1489  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-ac 10185  df-goel 35308  df-gona 35309  df-goal 35310  df-sat 35311  df-sate 35312  df-fmla 35313  df-prv 35314

This theorem is referenced by: (None)