MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zntoslem 20986
Description: Lemma for zntos 20987. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znle2.f 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
znle2.w π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
znle2.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
znleval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21fvexi 6860 . . . 4 π‘Œ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ))
6 znle2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = (leβ€˜π‘Œ))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 20981 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋)
11 f1ocnv 6800 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
13 f1of 6788 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
15 sseq1 3973 . . . . . . . . . 10 (β„€ = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ (β„€ βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
16 sseq1 3973 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ ((0..^𝑁) βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
17 ssid 3970 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† β„€
18 fzossz 13601 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) βŠ† β„€
1915, 16, 17, 18keephyp 4561 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€
209, 19eqsstri 3982 . . . . . . . 8 π‘Š βŠ† β„€
21 zssre 12514 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† ℝ
2220, 21sstri 3957 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† ℝ
23 fss 6689 . . . . . . 7 ((◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š ∧ π‘Š βŠ† ℝ) β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2414, 22, 23sylancl 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2625leidd 11729 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 20985 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
28273anidm23 1422 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
2926, 28mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 20985 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 20985 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
32313com23 1127 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
3330, 32anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
34253adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
36353adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11305 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
38 f1of1 6787 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
40 f1fveq 7213 . . . . . . 7 ((◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4139, 40sylan 581 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
42413impb 1116 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 307 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4443biimpd 228 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
45253ad2antr1 1189 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1190 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1191 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
49 letr 11257 . . . . 5 (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
51303adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 20985 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
53523adant3r1 1183 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5451, 53anbi12d 632 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 20985 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
56553adant3r2 1184 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5750, 54, 563imtr4d 294 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18220 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Poset)
5934, 36letrid 11315 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
6030, 32orbi12d 918 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
6159, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
62613expb 1121 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
6362ralrimivva 3194 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
644, 6istos 18315 . 2 (π‘Œ ∈ Toset ↔ (π‘Œ ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
6558, 63, 64sylanbrc 584 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059   ≀ cle 11198  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  ..^cfzo 13576  Basecbs 17091  lecple 17148  Posetcpo 18204  Tosetctos 18313  β„€RHomczrh 20923  β„€/nβ„€czn 20926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-dvds 16145  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-imas 17398  df-qus 17399  df-poset 18210  df-toset 18314  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-nsg 18934  df-eqg 18935  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-rsp 20681  df-2idl 20747  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-zn 20930
This theorem is referenced by:  zntos  20987
  Copyright terms: Public domain W3C validator