MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zntoslem 21575
Description: Lemma for zntos 21576. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21fvexi 6920 . . . 4 𝑌 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑌)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑋 = (Base‘𝑌))
6 znle2.l . . . 4 = (le‘𝑌)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 = (le‘𝑌))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 21570 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
11 f1ocnv 6860 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
13 f1of 6848 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋𝑊)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋𝑊)
15 sseq1 4009 . . . . . . . . . 10 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16 sseq1 4009 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17 ssid 4006 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℤ
18 fzossz 13719 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1915, 16, 17, 18keephyp 4597 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
209, 19eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ ℤ
21 zssre 12620 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
2220, 21sstri 3993 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℝ
23 fss 6752 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋𝑊𝑊 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2414, 22, 23sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋⟶ℝ)
2524ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2625leidd 11829 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 21574 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
28273anidm23 1423 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
2926, 28mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → 𝑥 𝑥)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 21574 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 21574 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
32313com23 1127 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3330, 32anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
34253adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
36353adant2 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11403 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
38 f1of1 6847 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋1-1𝑊)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1𝑊)
40 f1fveq 7282 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1𝑊 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4139, 40sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42413impb 1115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 307 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4443biimpd 229 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45253ad2antr1 1189 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1190 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1191 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
49 letr 11355 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
51303adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 21574 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
53523adant3r1 1183 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
5451, 53anbi12d 632 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 21574 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
56553adant3r2 1184 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5750, 54, 563imtr4d 294 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) → 𝑥 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18368 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Poset)
5934, 36letrid 11413 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6030, 32orbi12d 919 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
6159, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
62613expb 1121 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
6362ralrimivva 3202 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
644, 6istos 18463 . 2 (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)))
6558, 63, 64sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cres 5687  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  cle 11296  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  Tosetctos 18461  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-poset 18359  df-toset 18462  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  zntos  21576
  Copyright terms: Public domain W3C validator