MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zntoslem 21111
Description: Lemma for zntos 21112. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znle2.f 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
znle2.w π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
znle2.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
znleval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21fvexi 6905 . . . 4 π‘Œ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ))
6 znle2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = (leβ€˜π‘Œ))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 21106 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋)
11 f1ocnv 6845 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
13 f1of 6833 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
15 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (β„€ = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ (β„€ βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
16 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ ((0..^𝑁) βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
17 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† β„€
18 fzossz 13651 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) βŠ† β„€
1915, 16, 17, 18keephyp 4599 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€
209, 19eqsstri 4016 . . . . . . . 8 π‘Š βŠ† β„€
21 zssre 12564 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† ℝ
2220, 21sstri 3991 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† ℝ
23 fss 6734 . . . . . . 7 ((◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š ∧ π‘Š βŠ† ℝ) β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2414, 22, 23sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2625leidd 11779 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 21110 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
28273anidm23 1421 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
2926, 28mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 21110 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 21110 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
32313com23 1126 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
3330, 32anbi12d 631 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
34253adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
36353adant2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11355 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
38 f1of1 6832 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
40 f1fveq 7260 . . . . . . 7 ((◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4139, 40sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
42413impb 1115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 306 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4443biimpd 228 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
45253ad2antr1 1188 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1189 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1190 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
49 letr 11307 . . . . 5 (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
51303adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 21110 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
53523adant3r1 1182 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5451, 53anbi12d 631 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 21110 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
56553adant3r2 1183 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5750, 54, 563imtr4d 293 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18275 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Poset)
5934, 36letrid 11365 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
6030, 32orbi12d 917 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
6159, 60mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
62613expb 1120 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
6362ralrimivva 3200 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
644, 6istos 18370 . 2 (π‘Œ ∈ Toset ↔ (π‘Œ ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
6558, 63, 64sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109   ≀ cle 11248  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  ..^cfzo 13626  Basecbs 17143  lecple 17203  Posetcpo 18259  Tosetctos 18368  β„€RHomczrh 21048  β„€/nβ„€czn 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-dvds 16197  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-poset 18265  df-toset 18369  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055
This theorem is referenced by:  zntos  21112
  Copyright terms: Public domain W3C validator