Theorem zntoslem 20388

Description: Lemma for zntos 20389. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zntoslem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	fvexi 6701	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
4		znleval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑋 = (Base‘𝑌))
6		znle2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = (le‘𝑌))
8		znle2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9		znle2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
10	1, 4, 8, 9	znf1o 20383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
11		f1ocnv 6643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
13		f1of 6631	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
15		sseq1 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16		sseq1 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17		ssid 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
18		fzossz 13161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
19	15, 16, 17, 18	keephyp 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
20	9, 19	eqsstri 3921	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
21		zssre 12082	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3896	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℝ
23		fss 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋⟶𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ ℝ) → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
24	14, 22, 23	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
25	24	ffvelrnda 6874	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	leidd 11297	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥))
27	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20387	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
28	27	3anidm23 1422	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
29	26, 28	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑥)
30	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
31	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
32	31	3com23 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
33	30, 32	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
34	25	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	ffvelrnda 6874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
36	35	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
37	34, 36	letri3d 10873	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
38		f1of1 6630	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
39	12, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
40		f1fveq 7044	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	39, 40	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	41	3impb 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 37, 42	3bitr2d 310	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
44	43	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45	25	3ad2antr1 1189	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
46	35	3ad2antr2 1190	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
47	24	ffvelrnda 6874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	3ad2antr3 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
49		letr 10825	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
51	30	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
52	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
53	52	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
54	51, 53	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧))))
55	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20387	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
56	55	3adant3r2 1184	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
57	50, 54, 56	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
58	3, 5, 7, 29, 44, 57	isposd 17694	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Poset)
59	34, 36	letrid 10883	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
60	30, 32	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
61	59, 60	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
62	61	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
63	62	ralrimivva 3104	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
64	4, 6	istos 17774	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
65	58, 63, 64	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853  ifcif 4424   class class class wbr 5040  ^◡ccnv 5534   ↾ cres 5537  ⟶wf 6346  –1-1→wf1 6347  –1-1-onto→wf1o 6349  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ℝcr 10627  0cc0 10628   ≤ cle 10767  ℕ₀cn0 11989  ℤcz 12075  ..^cfzo 13137  Basecbs 16599  lecple 16688  Posetcpo 17679  Tosetctos 17772  ℤRHomczrh 20333  ℤ/nℤczn 20336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-ec 8335  df-qs 8339  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-rp 12486  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-dvds 15713  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-0g 16831  df-imas 16897  df-qus 16898  df-poset 17685  df-toset 17773  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-nsg 18408  df-eqg 18409  df-ghm 18487  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-rnghom 19602  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-lidl 20078  df-rsp 20079  df-2idl 20137  df-cnfld 20231  df-zring 20303  df-zrh 20337  df-zn 20340

This theorem is referenced by:  zntos  20389