MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zntoslem 20963
Description: Lemma for zntos 20964. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21fvexi 6856 . . . 4 𝑌 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑌)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑋 = (Base‘𝑌))
6 znle2.l . . . 4 = (le‘𝑌)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 = (le‘𝑌))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 20958 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
11 f1ocnv 6796 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
13 f1of 6784 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋𝑊)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋𝑊)
15 sseq1 3969 . . . . . . . . . 10 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16 sseq1 3969 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17 ssid 3966 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℤ
18 fzossz 13592 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1915, 16, 17, 18keephyp 4557 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
209, 19eqsstri 3978 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ ℤ
21 zssre 12506 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
2220, 21sstri 3953 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℝ
23 fss 6685 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋𝑊𝑊 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2414, 22, 23sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋⟶ℝ)
2524ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2625leidd 11721 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 20962 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
28273anidm23 1421 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
2926, 28mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → 𝑥 𝑥)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 20962 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 20962 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
32313com23 1126 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3330, 32anbi12d 631 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
34253adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
36353adant2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11297 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
38 f1of1 6783 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋1-1𝑊)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1𝑊)
40 f1fveq 7209 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1𝑊 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4139, 40sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42413impb 1115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 306 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4443biimpd 228 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45253ad2antr1 1188 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1189 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1190 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
49 letr 11249 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
51303adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 20962 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
53523adant3r1 1182 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
5451, 53anbi12d 631 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 20962 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
56553adant3r2 1183 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5750, 54, 563imtr4d 293 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) → 𝑥 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18212 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Poset)
5934, 36letrid 11307 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6030, 32orbi12d 917 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
6159, 60mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
62613expb 1120 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
6362ralrimivva 3197 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
644, 6istos 18307 . 2 (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)))
6558, 63, 64sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ccnv 5632  cres 5635  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  cle 11190  0cn0 12413  cz 12499  ..^cfzo 13567  Basecbs 17083  lecple 17140  Posetcpo 18196  Tosetctos 18305  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-poset 18202  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907
This theorem is referenced by:  zntos  20964
  Copyright terms: Public domain W3C validator