Theorem zntoslem 21868

Description: Lemma for zntos 21869. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zntoslem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
4		znleval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑋 = (Base‘𝑌))
6		znle2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = (le‘𝑌))
8		znle2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9		znle2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
10	1, 4, 8, 9	znf1o 21863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
11		f1ocnv 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
13		f1of 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
15		sseq1 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16		sseq1 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17		ssid 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
18		fzossz 13818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
19	15, 16, 17, 18	keephyp 4553	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
20	9, 19	eqsstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
21		zssre 12704	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3917	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℝ
23		fss 6727	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋⟶𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ ℝ) → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
24	14, 22, 23	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7085	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	leidd 11886	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥))
27	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21867	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
28	27	3anidm23 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
29	26, 28	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑥)
30	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
31	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
32	31	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
33	30, 32	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
34	25	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	ffvelcdmda 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
36	35	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
37	34, 36	letri3d 11456	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
38		f1of1 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
39	12, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
40		f1fveq 7267	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	39, 40	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	41	3impb 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 37, 42	3bitr2d 310	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
44	43	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45	25	3ad2antr1 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
46	35	3ad2antr2 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
47	24	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	3ad2antr3 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
49		letr 11408	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
51	30	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
52	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
53	52	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
54	51, 53	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧))))
55	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21867	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
56	55	3adant3r2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
57	50, 54, 56	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
58	3, 5, 7, 29, 44, 57	isposd 18502	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Poset)
59	34, 36	letrid 11466	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
60	30, 32	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
61	59, 60	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
62	61	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
63	62	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
64	4, 6	istos 18596	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
65	58, 63, 64	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652  ⟶wf 6535  –1-1→wf1 6536  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   ≤ cle 11348  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ..^cfzo 13792  Basecbs 17393  lecple 17441  Posetcpo 18487  Tosetctos 18594  ℤRHomczrh 21811  ℤ/nℤczn 21814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-dvds 16429  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-0g 17618  df-imas 17686  df-qus 17687  df-poset 18493  df-toset 18595  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-nsg 19340  df-eqg 19341  df-ghm 19434  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-rhm 20708  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-2idl 21549  df-cnfld 21685  df-zring 21759  df-zrh 21815  df-zn 21818

This theorem is used by:  zntos  21869