MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zntoslem 21446
Description: Lemma for zntos 21447. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znle2.f 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
znle2.w π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
znle2.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
znleval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21fvexi 6898 . . . 4 π‘Œ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ))
6 znle2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = (leβ€˜π‘Œ))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 21441 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋)
11 f1ocnv 6838 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
13 f1of 6826 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
15 sseq1 4002 . . . . . . . . . 10 (β„€ = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ (β„€ βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
16 sseq1 4002 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ ((0..^𝑁) βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
17 ssid 3999 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† β„€
18 fzossz 13655 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) βŠ† β„€
1915, 16, 17, 18keephyp 4594 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€
209, 19eqsstri 4011 . . . . . . . 8 π‘Š βŠ† β„€
21 zssre 12566 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† ℝ
2220, 21sstri 3986 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† ℝ
23 fss 6727 . . . . . . 7 ((◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š ∧ π‘Š βŠ† ℝ) β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2414, 22, 23sylancl 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7079 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2625leidd 11781 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 21445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
28273anidm23 1418 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
2926, 28mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 21445 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 21445 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
32313com23 1123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
3330, 32anbi12d 630 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
34253adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7079 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
36353adant2 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11357 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
38 f1of1 6825 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
40 f1fveq 7256 . . . . . . 7 ((◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4139, 40sylan 579 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
42413impb 1112 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 307 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4443biimpd 228 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
45253ad2antr1 1185 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1186 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7079 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1187 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
49 letr 11309 . . . . 5 (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
51303adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 21445 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
53523adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5451, 53anbi12d 630 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 21445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
56553adant3r2 1180 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5750, 54, 563imtr4d 294 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18285 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Poset)
5934, 36letrid 11367 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
6030, 32orbi12d 915 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
6159, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
62613expb 1117 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
6362ralrimivva 3194 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
644, 6istos 18380 . 2 (π‘Œ ∈ Toset ↔ (π‘Œ ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
6558, 63, 64sylanbrc 582 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109   ≀ cle 11250  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  ..^cfzo 13630  Basecbs 17150  lecple 17210  Posetcpo 18269  Tosetctos 18378  β„€RHomczrh 21381  β„€/nβ„€czn 21384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-dvds 16202  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-poset 18275  df-toset 18379  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-nsg 19048  df-eqg 19049  df-ghm 19136  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21064  df-rsp 21065  df-2idl 21104  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zrh 21385  df-zn 21388
This theorem is referenced by:  zntos  21447
  Copyright terms: Public domain W3C validator