Theorem zntoslem 20963

Description: Lemma for zntos 20964. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zntoslem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	fvexi 6856	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
4		znleval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑋 = (Base‘𝑌))
6		znle2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = (le‘𝑌))
8		znle2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9		znle2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
10	1, 4, 8, 9	znf1o 20958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
11		f1ocnv 6796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
13		f1of 6784	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
15		sseq1 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16		sseq1 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17		ssid 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
18		fzossz 13592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
19	15, 16, 17, 18	keephyp 4557	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
20	9, 19	eqsstri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
21		zssre 12506	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3953	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℝ
23		fss 6685	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋⟶𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ ℝ) → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
24	14, 22, 23	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7035	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	leidd 11721	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥))
27	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20962	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
28	27	3anidm23 1421	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
29	26, 28	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑥)
30	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
31	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
32	31	3com23 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
33	30, 32	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
34	25	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
36	35	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
37	34, 36	letri3d 11297	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
38		f1of1 6783	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
39	12, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
40		f1fveq 7209	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	39, 40	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	41	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 37, 42	3bitr2d 306	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
44	43	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45	25	3ad2antr1 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
46	35	3ad2antr2 1189	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
47	24	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	3ad2antr3 1190	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
49		letr 11249	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
51	30	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
52	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
53	52	3adant3r1 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
54	51, 53	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧))))
55	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 20962	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
56	55	3adant3r2 1183	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
57	50, 54, 56	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
58	3, 5, 7, 29, 44, 57	isposd 18212	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Poset)
59	34, 36	letrid 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
60	30, 32	orbi12d 917	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
61	59, 60	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
62	61	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
63	62	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
64	4, 6	istos 18307	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
65	58, 63, 64	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  –1-1→wf1 6493  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051   ≤ cle 11190  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ..^cfzo 13567  Basecbs 17083  lecple 17140  Posetcpo 18196  Tosetctos 18305  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nℤczn 20903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-poset 18202  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907

This theorem is referenced by:  zntos  20964