MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zntoslem 21497
Description: Lemma for zntos 21498. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znle2.f 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
znle2.w π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
znle2.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
znleval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21fvexi 6916 . . . 4 π‘Œ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ))
6 znle2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = (leβ€˜π‘Œ))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 21492 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋)
11 f1ocnv 6856 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘Šβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š)
13 f1of 6844 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š)
15 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (β„€ = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ (β„€ βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
16 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) β†’ ((0..^𝑁) βŠ† β„€ ↔ if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€))
17 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† β„€
18 fzossz 13692 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) βŠ† β„€
1915, 16, 17, 18keephyp 4603 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁)) βŠ† β„€
209, 19eqsstri 4016 . . . . . . . 8 π‘Š βŠ† β„€
21 zssre 12603 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† ℝ
2220, 21sstri 3991 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† ℝ
23 fss 6744 . . . . . . 7 ((◑𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Š ∧ π‘Š βŠ† ℝ) β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2414, 22, 23sylancl 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2625leidd 11818 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 21496 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
28273anidm23 1418 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
2926, 28mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 21496 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 21496 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
32313com23 1123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
3330, 32anbi12d 630 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
34253adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7099 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
36353adant2 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11394 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
38 f1of1 6843 . . . . . . . 8 (◑𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Š β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š)
40 f1fveq 7278 . . . . . . 7 ((◑𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Š ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4139, 40sylan 578 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
42413impb 1112 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) = (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 306 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4443biimpd 228 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
45253ad2antr1 1185 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1186 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1187 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
49 letr 11346 . . . . 5 (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
51303adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 21496 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
53523adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5451, 53anbi12d 630 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 21496 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
56553adant3r2 1180 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘§)))
5750, 54, 563imtr4d 293 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18322 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Poset)
5934, 36letrid 11404 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
6030, 32orbi12d 916 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ∨ (β—‘πΉβ€˜π‘¦) ≀ (β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
6159, 60mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
62613expb 1117 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
6362ralrimivva 3198 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
644, 6istos 18417 . 2 (π‘Œ ∈ Toset ↔ (π‘Œ ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
6558, 63, 64sylanbrc 581 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  ifcif 4532   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  0cc0 11146   ≀ cle 11287  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  ..^cfzo 13667  Basecbs 17187  lecple 17247  Posetcpo 18306  Tosetctos 18415  β„€RHomczrh 21432  β„€/nβ„€czn 21435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-dvds 16239  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-poset 18312  df-toset 18416  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-zn 21439
This theorem is referenced by:  zntos  21498
  Copyright terms: Public domain W3C validator