MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zntoslem 20176
Description: Lemma for zntos 20177. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21fvexi 6388 . . . 4 𝑌 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑌)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑋 = (Base‘𝑌))
6 znle2.l . . . 4 = (le‘𝑌)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 = (le‘𝑌))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 20171 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
11 f1ocnv 6331 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
13 f1of 6319 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋𝑊)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋𝑊)
15 sseq1 3785 . . . . . . . . . 10 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16 sseq1 3785 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17 ssid 3782 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℤ
18 elfzoelz 12677 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1918ssriv 3764 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
2015, 16, 17, 19keephyp 4311 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
219, 20eqsstri 3794 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ ℤ
22 zssre 11630 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
2321, 22sstri 3769 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℝ
24 fss 6235 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋𝑊𝑊 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2514, 23, 24sylancl 580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6548 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2726leidd 10847 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
281, 8, 9, 6, 4znleval2 20175 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
29283anidm23 1544 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3027, 29mpbird 248 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → 𝑥 𝑥)
311, 8, 9, 6, 4znleval2 20175 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
321, 8, 9, 6, 4znleval2 20175 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
33323com23 1156 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3431, 33anbi12d 624 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
35263adant3 1162 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3625ffvelrnda 6548 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
37363adant2 1161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3835, 37letri3d 10432 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
39 f1of1 6318 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋1-1𝑊)
4012, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1𝑊)
41 f1fveq 6710 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1𝑊 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4240, 41sylan 575 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43423impb 1143 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4434, 38, 433bitr2d 298 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4544biimpd 220 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
46263ad2antr1 1239 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
47363ad2antr2 1240 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4825ffvelrnda 6548 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
49483ad2antr3 1241 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
50 letr 10384 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5146, 47, 49, 50syl3anc 1490 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
52313adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
531, 8, 9, 6, 4znleval2 20175 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
54533adant3r1 1233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
5552, 54anbi12d 624 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))))
561, 8, 9, 6, 4znleval2 20175 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
57563adant3r2 1234 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5851, 55, 573imtr4d 285 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) → 𝑥 𝑧))
593, 5, 7, 30, 45, 58isposd 17222 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Poset)
6035, 37letrid 10442 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6131, 33orbi12d 942 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
6260, 61mpbird 248 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
63623expb 1149 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
6463ralrimivva 3117 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
654, 6istos 17302 . 2 (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)))
6659, 64, 65sylanbrc 578 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  Vcvv 3349  wss 3731  ifcif 4242   class class class wbr 4808  ccnv 5275  cres 5278  wf 6063  1-1wf1 6064  1-1-ontowf1o 6066  cfv 6067  (class class class)co 6841  cr 10187  0cc0 10188  cle 10328  0cn0 11537  cz 11623  ..^cfzo 12672  Basecbs 16131  lecple 16222  Posetcpo 17207  Tosetctos 17300  ℤRHomczrh 20120  ℤ/nczn 20123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-tpos 7554  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-ec 7948  df-qs 7952  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-rp 12028  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-dvds 15267  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-0g 16369  df-imas 16435  df-qus 16436  df-poset 17213  df-toset 17301  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-mulg 17809  df-subg 17856  df-nsg 17857  df-eqg 17858  df-ghm 17923  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-cring 18816  df-oppr 18889  df-dvdsr 18907  df-rnghom 18983  df-subrg 19046  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-lsp 19243  df-sra 19445  df-rgmod 19446  df-lidl 19447  df-rsp 19448  df-2idl 19505  df-cnfld 20019  df-zring 20091  df-zrh 20124  df-zn 20127
This theorem is referenced by:  zntos  20177
  Copyright terms: Public domain W3C validator