Theorem zntoslem 21769

Description: Lemma for zntos 21770. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zntoslem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	fvexi 6892	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
4		znleval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑋 = (Base‘𝑌))
6		znle2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = (le‘𝑌))
8		znle2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9		znle2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
10	1, 4, 8, 9	znf1o 21764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
11		f1ocnv 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
13		f1of 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
15		sseq1 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16		sseq1 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17		ssid 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
18		fzossz 13735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
19	15, 16, 17, 18	keephyp 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
20	9, 19	eqsstri 3977	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
21		zssre 12622	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℝ
23		fss 6719	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋⟶𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ ℝ) → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
24	14, 22, 23	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	leidd 11804	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥))
27	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
28	27	3anidm23 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
29	26, 28	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑥)
30	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
31	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
32	31	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
33	30, 32	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
34	25	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
35	24	ffvelcdmda 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
36	35	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
37	34, 36	letri3d 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
38		f1of1 6816	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
39	12, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
40		f1fveq 7259	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
41	39, 40	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	41	3impb 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 37, 42	3bitr2d 310	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
44	43	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45	25	3ad2antr1 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
46	35	3ad2antr2 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
47	24	ffvelcdmda 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	3ad2antr3 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
49		letr 11328	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
51	30	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
52	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
53	52	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
54	51, 53	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧))))
55	1, 8, 9, 6, 4	znleval2 21768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
56	55	3adant3r2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
57	50, 54, 56	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
58	3, 5, 7, 29, 44, 57	isposd 18410	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Poset)
59	34, 36	letrid 11386	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
60	30, 32	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
61	59, 60	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
62	61	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
63	62	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
64	4, 6	istos 18504	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
65	58, 63, 64	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ..^cfzo 13709  Basecbs 17301  lecple 17349  Posetcpo 18395  Tosetctos 18502  ℤRHomczrh 21712  ℤ/nℤczn 21715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-dvds 16343  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-imas 17594  df-qus 17595  df-poset 18401  df-toset 18503  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-nsg 19247  df-eqg 19248  df-ghm 19341  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395  df-rsp 21396  df-2idl 21452  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-zn 21719

This theorem is used by:  zntos  21770