MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zntoslem 21592
Description: Lemma for zntos 21593. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zntoslem (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21fvexi 6920 . . . 4 𝑌 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ V)
4 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑌)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑋 = (Base‘𝑌))
6 znle2.l . . . 4 = (le‘𝑌)
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 = (le‘𝑌))
8 znle2.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
9 znle2.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
101, 4, 8, 9znf1o 21587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝑋)
11 f1ocnv 6860 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑊1-1-onto𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1-onto𝑊)
13 f1of 6848 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋𝑊)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋𝑊)
15 sseq1 4020 . . . . . . . . . 10 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
16 sseq1 4020 . . . . . . . . . 10 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17 ssid 4017 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℤ
18 fzossz 13715 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1915, 16, 17, 18keephyp 4601 . . . . . . . . 9 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
209, 19eqsstri 4029 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ ℤ
21 zssre 12617 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
2220, 21sstri 4004 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℝ
23 fss 6752 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋𝑊𝑊 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2414, 22, 23sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋⟶ℝ)
2524ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2625leidd 11826 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
271, 8, 9, 6, 4znleval2 21591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
28273anidm23 1420 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
2926, 28mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋) → 𝑥 𝑥)
301, 8, 9, 6, 4znleval2 21591 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
311, 8, 9, 6, 4znleval2 21591 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
32313com23 1125 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3330, 32anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
34253adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3524ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
36353adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3734, 36letri3d 11400 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
38 f1of1 6847 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑊𝐹:𝑋1-1𝑊)
3912, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑋1-1𝑊)
40 f1fveq 7281 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1𝑊 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4139, 40sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42413impb 1114 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4333, 37, 423bitr2d 307 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4443biimpd 229 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
45253ad2antr1 1187 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
46353ad2antr2 1188 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4724ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
48473ad2antr3 1189 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
49 letr 11352 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5045, 46, 48, 49syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
51303adant3r3 1183 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
521, 8, 9, 6, 4znleval2 21591 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
53523adant3r1 1181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧)))
5451, 53anbi12d 632 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))))
551, 8, 9, 6, 4znleval2 21591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
56553adant3r2 1182 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
5750, 54, 563imtr4d 294 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑧) → 𝑥 𝑧))
583, 5, 7, 29, 44, 57isposd 18380 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Poset)
5934, 36letrid 11410 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6030, 32orbi12d 918 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥 𝑦𝑦 𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ∨ (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
6159, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
62613expb 1119 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
6362ralrimivva 3199 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
644, 6istos 18475 . 2 (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)))
6558, 63, 64sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cres 5690  wf 6558  1-1wf1 6559  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  cle 11293  0cn0 12523  cz 12610  ..^cfzo 13690  Basecbs 17244  lecple 17304  Posetcpo 18364  Tosetctos 18473  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nczn 21530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-poset 18370  df-toset 18474  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534
This theorem is referenced by:  zntos  21593
  Copyright terms: Public domain W3C validator