Theorem odf1 19469

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odf1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 18999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5	4	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6		odf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	5, 6	fmptd 7042	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9		oveq1 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10		ovex 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 · 𝐴) ∈ V
11	9, 6, 10	fvmpt3i 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12		oveq1 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
13	12, 6, 10	fvmpt3i 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
14	11, 13	eqeqan12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
17	16	breq1d 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
18		odf1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
19		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 18, 2, 19	odcong 19456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21	20	ad4ant124 1174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22		zsubcl 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
24		0dvds 16182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
26	17, 21, 25	3bitr3d 309	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
27		zcn 12468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28		zcn 12468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29		subeq0 11382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
32	15, 26, 31	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
33	32	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	ralrimivva 3175	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35		dff13 7183	. . 3 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	8, 34, 35	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
37	1, 18, 2, 19	odid 19445	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	1, 19, 2	mulg0 18982	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
39	37, 38	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
40	39	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
41	1, 18	odcl 19443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
42	41	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12489	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
44		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
45	44, 6, 10	fvmpt3i 6929	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
46	43, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
47		0zd 12475	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
49	48, 6, 10	fvmpt3i 6929	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
50	47, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
51	40, 46, 50	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0))
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
53		f1fveq 7191	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
54	52, 43, 47, 53	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
55	51, 54	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 0)
56	36, 55	impbida 800	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  –1-1→wf1 6473  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001   − cmin 11339  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463   ∥ cdvds 16158  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  Grpcgrp 18841  ._gcmg 18975  odcod 19431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-od 19435

This theorem is referenced by:  odinf  19470  odcl2  19472  zrhchr  33979