Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1 18769
 Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odf1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 18325 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433expa 1115 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
54an32s 651 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6 odf1.4 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
75, 6fmptd 6875 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
87adantr 484 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9 oveq1 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10 ovex 7189 . . . . . . . . 9 (𝑥 · 𝐴) ∈ V
119, 6, 10fvmpt3i 6769 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12 oveq1 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
1312, 6, 10fvmpt3i 6769 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
1411, 13eqeqan12d 2775 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
1514adantl 485 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
1716breq1d 5046 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦𝑧)))
18 odf1.2 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
19 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
201, 18, 2, 19odcong 18757 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
2120ad4ant124 1170 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22 zsubcl 12076 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2322adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
24 0dvds 15691 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2617, 21, 253bitr3d 312 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
27 zcn 12038 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28 zcn 12038 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29 subeq0 10963 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3027, 28, 29syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3130adantl 485 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3215, 26, 313bitrd 308 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3332biimpd 232 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3433ralrimivva 3120 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35 dff13 7011 . . 3 (𝐹:ℤ–1-1𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
368, 34, 35sylanbrc 586 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
371, 18, 2, 19odid 18746 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0g𝐺))
381, 19, 2mulg0 18311 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
3937, 38eqtr4d 2796 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4039ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
411, 18odcl 18744 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4241ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12137 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
44 oveq1 7163 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑂𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4544, 6, 10fvmpt3i 6769 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4643, 45syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
47 0zd 12045 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48 oveq1 7163 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4948, 6, 10fvmpt3i 6769 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5047, 49syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5140, 46, 503eqtr4d 2803 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0))
52 simpr 488 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
53 f1fveq 7018 . . . 4 ((𝐹:ℤ–1-1𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5452, 43, 47, 53syl12anc 835 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5551, 54mpbid 235 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) = 0)
5636, 55impbida 800 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ⟶wf 6336  –1-1→wf1 6337  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588   − cmin 10921  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033   ∥ cdvds 15668  Basecbs 16554  0gc0g 16784  Grpcgrp 18182  .gcmg 18304  odcod 18732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-od 18736 This theorem is referenced by:  odinf  18770  odcl2  18772  zrhchr  31457
 Copyright terms: Public domain W3C validator