Theorem odf1 19178

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odf1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 18730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5	4	an32s 649	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6		odf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	5, 6	fmptd 6997	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9		oveq1 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10		ovex 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 · 𝐴) ∈ V
11	9, 6, 10	fvmpt3i 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12		oveq1 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
13	12, 6, 10	fvmpt3i 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
14	11, 13	eqeqan12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
17	16	breq1d 5085	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
18		odf1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
19		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 18, 2, 19	odcong 19166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21	20	ad4ant124 1172	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22		zsubcl 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
23	22	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
24		0dvds 15995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
26	17, 21, 25	3bitr3d 309	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
27		zcn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28		zcn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29		subeq0 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	30	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
32	15, 26, 31	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
33	32	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	ralrimivva 3124	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35		dff13 7137	. . 3 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	8, 34, 35	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
37	1, 18, 2, 19	odid 19155	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	1, 19, 2	mulg0 18716	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
39	37, 38	eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
40	39	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
41	1, 18	odcl 19153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
42	41	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12433	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
44		oveq1 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
45	44, 6, 10	fvmpt3i 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
46	43, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
47		0zd 12340	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48		oveq1 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
49	48, 6, 10	fvmpt3i 6889	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
50	47, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
51	40, 46, 50	3eqtr4d 2789	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0))
52		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
53		f1fveq 7144	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
54	52, 43, 47, 53	syl12anc 834	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
55	51, 54	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 0)
56	36, 55	impbida 798	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  ⟶wf 6433  –1-1→wf1 6434  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  0cc0 10880   − cmin 11214  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328   ∥ cdvds 15972  Basecbs 16921  0_gc0g 17159  Grpcgrp 18586  ._gcmg 18709  odcod 19141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fz 13249  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-dvds 15973  df-0g 17161  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-sbg 18591  df-mulg 18710  df-od 19145

This theorem is referenced by:  odinf  19179  odcl2  19181  zrhchr  31935