Theorem odf1 19655

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odf1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 19180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5	4	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6		odf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	5, 6	fmptd 7113	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10		ovex 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 · 𝐴) ∈ V
11	9, 6, 10	fvmpt3i 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
13	12, 6, 10	fvmpt3i 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
14	11, 13	eqeqan12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
17	16	breq1d 5121	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
18		odf1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
19		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 18, 2, 19	odcong 19642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21	20	ad4ant124 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22		zsubcl 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
23	22	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
24		0dvds 16351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
26	17, 21, 25	3bitr3d 312	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
27		zcn 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28		zcn 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29		subeq0 11495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
30	27, 28, 29	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	30	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
32	15, 26, 31	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
33	32	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	ralrimivva 3210	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35		dff13 7254	. . 3 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	8, 34, 35	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
37	1, 18, 2, 19	odid 19631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	1, 19, 2	mulg0 19163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
39	37, 38	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
40	39	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
41	1, 18	odcl 19629	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
42	41	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12627	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
44		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
45	44, 6, 10	fvmpt3i 6999	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
46	43, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
47		0zd 12614	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
49	48, 6, 10	fvmpt3i 6999	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
50	47, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
51	40, 46, 50	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0))
52		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
53		f1fveq 7262	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
54	52, 43, 47, 53	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
55	51, 54	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 0)
56	36, 55	impbida 813	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111   − cmin 11452  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16327  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  Grpcgrp 19023  ._gcmg 19156  odcod 19617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-od 19621

This theorem is used by:  odinf  19656  odcl2  19658  zrhchr  34387