MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1 18257
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odf1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 17839 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433expa 1147 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
54an32s 642 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6 odf1.4 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
75, 6fmptd 6578 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
87adantr 472 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10 ovex 6878 . . . . . . . . 9 (𝑥 · 𝐴) ∈ V
119, 6, 10fvmpt3i 6480 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
1312, 6, 10fvmpt3i 6480 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
1411, 13eqeqan12d 2781 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
1514adantl 473 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16 simplr 785 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
1716breq1d 4821 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦𝑧)))
18 odf1.2 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
19 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
201, 18, 2, 19odcong 18246 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21203expa 1147 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
2221adantlr 706 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
23 zsubcl 11671 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2423adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
25 0dvds 15301 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2717, 22, 263bitr3d 300 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
28 zcn 11633 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
29 zcn 11633 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
30 subeq0 10565 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3128, 29, 30syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3231adantl 473 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3315, 27, 323bitrd 296 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3433biimpd 220 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3534ralrimivva 3118 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
36 dff13 6708 . . 3 (𝐹:ℤ–1-1𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
378, 35, 36sylanbrc 578 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
381, 18, 2, 19odid 18235 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0g𝐺))
391, 19, 2mulg0 17827 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
4038, 39eqtr4d 2802 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4140ad2antlr 718 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
421, 18odcl 18233 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4342ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11732 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
45 oveq1 6853 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑂𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4645, 6, 10fvmpt3i 6480 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4744, 46syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
48 0zd 11640 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 0 ∈ ℤ)
49 oveq1 6853 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
5049, 6, 10fvmpt3i 6480 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5148, 50syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5241, 47, 513eqtr4d 2809 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0))
53 simpr 477 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
54 f1fveq 6715 . . . 4 ((𝐹:ℤ–1-1𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5553, 44, 48, 54syl12anc 865 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5652, 55mpbid 223 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) = 0)
5737, 56impbida 835 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055   class class class wbr 4811  cmpt 4890  wf 6066  1-1wf1 6067  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  0cc0 10193  cmin 10524  0cn0 11542  cz 11628  cdvds 15279  Basecbs 16144  0gc0g 16380  Grpcgrp 17703  .gcmg 17821  odcod 18222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-dvds 15280  df-0g 16382  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-od 18226
This theorem is referenced by:  odinf  18258  odcl2  18260  zrhchr  30488
  Copyright terms: Public domain W3C validator