MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1 19580
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odf1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 19109 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433expa 1119 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
54an32s 652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6 odf1.4 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
75, 6fmptd 7134 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
87adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑥 · 𝐴) ∈ V
119, 6, 10fvmpt3i 7021 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
1312, 6, 10fvmpt3i 7021 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
1411, 13eqeqan12d 2751 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
1514adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
1716breq1d 5153 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦𝑧)))
18 odf1.2 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
201, 18, 2, 19odcong 19567 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
2120ad4ant124 1174 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22 zsubcl 12659 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
24 0dvds 16314 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2617, 21, 253bitr3d 309 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
27 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29 subeq0 11535 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3130adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3215, 26, 313bitrd 305 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3332biimpd 229 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3433ralrimivva 3202 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35 dff13 7275 . . 3 (𝐹:ℤ–1-1𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
368, 34, 35sylanbrc 583 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
371, 18, 2, 19odid 19556 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0g𝐺))
381, 19, 2mulg0 19092 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
3937, 38eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4039ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
411, 18odcl 19554 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4241ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12639 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
44 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑂𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4544, 6, 10fvmpt3i 7021 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4643, 45syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
47 0zd 12625 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4948, 6, 10fvmpt3i 7021 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5047, 49syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5140, 46, 503eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0))
52 simpr 484 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
53 f1fveq 7282 . . . 4 ((𝐹:ℤ–1-1𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5452, 43, 47, 53syl12anc 837 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5551, 54mpbid 232 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) = 0)
5636, 55impbida 801 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  cmin 11492  0cn0 12526  cz 12613  cdvds 16290  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  .gcmg 19085  odcod 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-od 19546
This theorem is referenced by:  odinf  19581  odcl2  19583  zrhchr  33975
  Copyright terms: Public domain W3C validator