Theorem odf1 19499

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odf1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 19030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5	4	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6		odf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	5, 6	fmptd 7089	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 · 𝐴) ∈ V
11	9, 6, 10	fvmpt3i 6976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
13	12, 6, 10	fvmpt3i 6976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
14	11, 13	eqeqan12d 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
17	16	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
18		odf1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
19		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 18, 2, 19	odcong 19486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21	20	ad4ant124 1174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22		zsubcl 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
24		0dvds 16253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
26	17, 21, 25	3bitr3d 309	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
27		zcn 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28		zcn 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29		subeq0 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
32	15, 26, 31	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
33	32	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35		dff13 7232	. . 3 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	8, 34, 35	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
37	1, 18, 2, 19	odid 19475	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	1, 19, 2	mulg0 19013	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
39	37, 38	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
40	39	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
41	1, 18	odcl 19473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
42	41	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12562	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
44		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
45	44, 6, 10	fvmpt3i 6976	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
46	43, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
47		0zd 12548	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
49	48, 6, 10	fvmpt3i 6976	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
50	47, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
51	40, 46, 50	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0))
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
53		f1fveq 7240	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
54	52, 43, 47, 53	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
55	51, 54	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 0)
56	36, 55	impbida 800	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536   ∥ cdvds 16229  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  ._gcmg 19006  odcod 19461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-od 19465

This theorem is referenced by:  odinf  19500  odcl2  19502  zrhchr  33971