MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1 19594
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odf1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 19121 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433expa 1117 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
54an32s 652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6 odf1.4 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
75, 6fmptd 7133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
87adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10 ovex 7463 . . . . . . . . 9 (𝑥 · 𝐴) ∈ V
119, 6, 10fvmpt3i 7020 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
1312, 6, 10fvmpt3i 7020 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
1411, 13eqeqan12d 2748 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
1514adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
1716breq1d 5157 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦𝑧)))
18 odf1.2 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
19 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
201, 18, 2, 19odcong 19581 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
2120ad4ant124 1172 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22 zsubcl 12656 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
24 0dvds 16310 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2617, 21, 253bitr3d 309 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
27 zcn 12615 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28 zcn 12615 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29 subeq0 11532 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3130adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3215, 26, 313bitrd 305 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3332biimpd 229 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3433ralrimivva 3199 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35 dff13 7274 . . 3 (𝐹:ℤ–1-1𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
368, 34, 35sylanbrc 583 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
371, 18, 2, 19odid 19570 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0g𝐺))
381, 19, 2mulg0 19104 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
3937, 38eqtr4d 2777 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4039ad2antlr 727 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
411, 18odcl 19568 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4241ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4342nn0zd 12636 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
44 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑂𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4544, 6, 10fvmpt3i 7020 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4643, 45syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
47 0zd 12622 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4948, 6, 10fvmpt3i 7020 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5047, 49syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5140, 46, 503eqtr4d 2784 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0))
52 simpr 484 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
53 f1fveq 7281 . . . 4 ((𝐹:ℤ–1-1𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5452, 43, 47, 53syl12anc 837 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5551, 54mpbid 232 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) = 0)
5636, 55impbida 801 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  1-1wf1 6559  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  cmin 11489  0cn0 12523  cz 12610  cdvds 16286  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  .gcmg 19097  odcod 19556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-od 19560
This theorem is referenced by:  odinf  19595  odcl2  19597  zrhchr  33936
  Copyright terms: Public domain W3C validator