Theorem ply1scln0 21813

Description: Nonzero scalars create nonzero polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1scl0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
ply1scln0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1scln0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌)

Proof of Theorem ply1scln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		ply1scln0.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	ply1sclf1 21810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→(Base‘𝑃))
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐴:𝐾–1-1→(Base‘𝑃))
7		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		ply1scl0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	3, 8	ring0cl 20083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 0 ∈ 𝐾)
11		f1fveq 7260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:𝐾–1-1→(Base‘𝑃) ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘𝑋) = (𝐴‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	6, 7, 10, 11	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑋) = (𝐴‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	12	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑋) = (𝐴‘ 0 ) → 𝑋 = 0 ))
14	13	necon3d 2961	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ≠ 0 → (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐴‘ 0 )))
15	14	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐴‘ 0 ))
16		ply1scl0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
17	1, 2, 8, 16	ply1scl0 21811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)
18	17	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)
19	15, 18	neeqtrd 3010	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  Ringcrg 20055  algSccascl 21406  Poly₁cpl1 21700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706

This theorem is referenced by:  deg1scl  25630  ply1nz  25638  deg1le0eq0  32650