Theorem bitsuz 16401

Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsres 16400	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
2	1	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴) ↔ (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴)))
3		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		2nn 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 14168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
9	4, 8	nndivred 12199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13718	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
11	8	nnzd 12514	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 11	zmulcld 12602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		bitsf1 16373	. . . . 5 ⊢ bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
14		f1fveq 7208	. . . . 5 ⊢ ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ)) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
15	13, 14	mpan 690	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
16	12, 3, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
17		dvdsmul2 16205	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
18	10, 11, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
19		breq2 5102	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → ((2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
20	18, 19	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
21	8	nnne0d 12195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
22		dvdsval2 16182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
23	11, 21, 3, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
24	23	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
25		flid 13728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)))
28	3	zcnd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	8	nncnd 12161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
32		2cnd 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
33		2ne0 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ≠ 0)
35	7	nn0zd 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
37	32, 34, 36	expne0d 14075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	29, 31, 37	divcan1d 11918	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
39	27, 38	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
41	20, 40	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
42	2, 16, 41	3bitrrd 306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴)))
43		dfss2 3919	. 2 ⊢ ((bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴))
44	42, 43	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ⌊cfl 13710  ↑cexp 13984   ∥ cdvds 16179  bitscbits 16346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-dvds 16180  df-bits 16349  df-sad 16378

This theorem is referenced by:  bitsshft  16402