Theorem bitsuz 16434

Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsres 16433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
2	1	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴) ↔ (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴)))
3		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		2nn 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 14198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
9	4, 8	nndivred 12222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13748	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
11	8	nnzd 12541	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 11	zmulcld 12630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		bitsf1 16406	. . . . 5 ⊢ bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
14		f1fveq 7210	. . . . 5 ⊢ ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ)) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
15	13, 14	mpan 691	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
16	12, 3, 15	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
17		dvdsmul2 16238	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
18	10, 11, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
19		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → ((2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
20	18, 19	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
21	8	nnne0d 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
22		dvdsval2 16215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
23	11, 21, 3, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
24	23	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
25		flid 13758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)))
28	3	zcnd 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	8	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
32		2cnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
33		2ne0 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ≠ 0)
35	7	nn0zd 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
37	32, 34, 36	expne0d 14105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	29, 31, 37	divcan1d 11923	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
39	27, 38	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
41	20, 40	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
42	2, 16, 41	3bitrrd 306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴)))
43		dfss2 3908	. 2 ⊢ ((bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴))
44	42, 43	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212  bitscbits 16379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-bits 16382  df-sad 16411

This theorem is referenced by:  bitsshft  16435