Theorem bitsuz 16491

Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsres 16490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
2	1	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴) ↔ (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴)))
3		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		2nn 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 14255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
9	4, 8	nndivred 12264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
11	8	nnzd 12591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 11	zmulcld 12680	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		bitsf1 16463	. . . . 5 ⊢ bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
14		f1fveq 7242	. . . . 5 ⊢ ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ)) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
15	13, 14	mpan 700	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
16	12, 3, 15	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
17		dvdsmul2 16295	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
18	10, 11, 17	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
19		breq2 5103	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → ((2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
20	18, 19	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
21	8	nnne0d 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
22		dvdsval2 16272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
23	11, 21, 3, 22	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
24	23	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
25		flid 13815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)))
28	3	zcnd 12675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	8	nncnd 12223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
32		2cnd 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
33		2ne0 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ≠ 0)
35	7	nn0zd 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
37	32, 34, 36	expne0d 14162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	29, 31, 37	divcan1d 11965	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
39	27, 38	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
40	39	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
41	20, 40	impbid 214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
42	2, 16, 41	3bitrrd 308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴)))
43		dfss2 3922	. 2 ⊢ ((bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴))
44	42, 43	bitr4di 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099  –1-1→wf1 6514  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   · cmul 11075   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ⌊cfl 13797  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269  bitscbits 16436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-had 1613  df-cad 1626  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-dvds 16270  df-bits 16439  df-sad 16468

This theorem is referenced by:  bitsshft  16492