MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsuz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsuz 16411
Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsuz ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
Proof of Theorem bitsuz
StepHypRef Expression
1 bitsres 16410 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
21eqeq1d 2734 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄)))
3 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
43zred 12662 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 2nn 12281 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
7 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
86, 7nnexpcld 14204 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
94, 8nndivred 12262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
109flcld 13759 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ β„€)
118nnzd 12581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
1210, 11zmulcld 12668 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
13 bitsf1 16383 . . . . 5 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
14 f1fveq 7257 . . . . 5 ((bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ∧ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€)) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
1513, 14mpan 688 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
1612, 3, 15syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
17 dvdsmul2 16218 . . . . . 6 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„€) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
1810, 11, 17syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
19 breq2 5151 . . . . 5 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
2018, 19syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
218nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
22 dvdsval2 16196 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
2311, 21, 3, 22syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
2423biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
25 flid 13769 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
2726oveq1d 7420 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)))
283zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
308nncnd 12224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
3130adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
32 2cnd 12286 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„‚)
33 2ne0 12312 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 2 β‰  0)
357nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3732, 34, 36expne0d 14113 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
3829, 31, 37divcan1d 11987 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((𝐴 / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴)
3927, 38eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴)
4039ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
4120, 40impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
422, 16, 413bitrrd 305 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄)))
43 df-ss 3964 . 2 ((bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄))
4442, 43bitr4di 288 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106   Β· cmul 11111   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  βŒŠcfl 13751  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  bitscbits 16356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-bits 16359  df-sad 16388
This theorem is referenced by:  bitsshft  16412
  Copyright terms: Public domain W3C validator