Theorem bitsuz 16645

Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsres 16644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))))
2	1	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴) ↔ (bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴)))
3		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		2nn 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 14390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
9	4, 8	nndivred 12393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13939	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
11	8	nnzd 12720	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 11	zmulcld 12810	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		bitsf1 16617	. . . . 5 ⊢ bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0
14		f1fveq 7267	. . . . 5 ⊢ ((bits:ℤ–1-1→𝒫 ℕ0 ∧ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ)) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
15	13, 14	mpan 703	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
16	12, 3, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((bits‘((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁))) = (bits‘𝐴) ↔ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
17		dvdsmul2 16449	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
18	10, 11, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)))
19		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → ((2↑𝑁) ∥ ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
20	18, 19	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 → (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
21	8	nnne0d 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ≠ 0)
22		dvdsval2 16426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
23	11, 21, 3, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
24	23	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
25		flid 13949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)))
28	3	zcnd 12805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	8	nncnd 12352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
32		2cnd 12422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
33		2ne0 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 2 ≠ 0)
35	7	nn0zd 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
37	32, 34, 36	expne0d 14296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	29, 31, 37	divcan1d 12095	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
39	27, 38	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (2↑𝑁) ∥ 𝐴) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴)
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 → ((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴))
41	20, 40	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝐴 / (2↑𝑁))) · (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) ∥ 𝐴))
42	2, 16, 41	3bitrrd 309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴)))
43		dfss2 3916	. 2 ⊢ ((bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((bits‘𝐴) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (bits‘𝐴))
44	42, 43	bitr4di 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑁) ∥ 𝐴 ↔ (bits‘𝐴) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  –1-1→wf1 6536  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201   · cmul 11206   / cdiv 11974  ℕcn 12336  2c2 12398  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ⌊cfl 13931  ↑cexp 14205   ∥ cdvds 16423  bitscbits 16590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-dvds 16424  df-bits 16593  df-sad 16622

This theorem is used by:  bitsshft  16646