MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsuz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsuz 16415
Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsuz ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
Proof of Theorem bitsuz
StepHypRef Expression
1 bitsres 16414 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
21eqeq1d 2735 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄)))
3 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
43zred 12666 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
7 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
86, 7nnexpcld 14208 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
94, 8nndivred 12266 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
109flcld 13763 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ β„€)
118nnzd 12585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
1210, 11zmulcld 12672 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
13 bitsf1 16387 . . . . 5 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
14 f1fveq 7261 . . . . 5 ((bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ∧ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€)) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
1513, 14mpan 689 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
1612, 3, 15syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
17 dvdsmul2 16222 . . . . . 6 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„€) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
1810, 11, 17syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
19 breq2 5153 . . . . 5 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
2018, 19syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
218nnne0d 12262 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
22 dvdsval2 16200 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
2311, 21, 3, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
2423biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
25 flid 13773 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
2726oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)))
283zcnd 12667 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
308nncnd 12228 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
3130adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
32 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„‚)
33 2ne0 12316 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 2 β‰  0)
357nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3635adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3732, 34, 36expne0d 14117 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
3829, 31, 37divcan1d 11991 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((𝐴 / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴)
3927, 38eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴)
4039ex 414 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
4120, 40impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
422, 16, 413bitrrd 306 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄)))
43 df-ss 3966 . 2 ((bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄))
4442, 43bitr4di 289 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197  bitscbits 16360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392
This theorem is referenced by:  bitsshft  16416
  Copyright terms: Public domain W3C validator