MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsuz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsuz 16440
Description: The bits of a number are all at least 𝑁 iff the number is divisible by 2↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsuz ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
Proof of Theorem bitsuz
StepHypRef Expression
1 bitsres 16439 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))))
21eqeq1d 2729 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄) ↔ (bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄)))
3 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
43zred 12688 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 2nn 12307 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
7 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
86, 7nnexpcld 14231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
94, 8nndivred 12288 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
109flcld 13787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ β„€)
118nnzd 12607 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
1210, 11zmulcld 12694 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€)
13 bitsf1 16412 . . . . 5 bits:℀–1-1→𝒫 β„•0
14 f1fveq 7266 . . . . 5 ((bits:℀–1-1→𝒫 β„•0 ∧ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€)) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
1513, 14mpan 689 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
1612, 3, 15syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((bitsβ€˜((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁))) = (bitsβ€˜π΄) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
17 dvdsmul2 16247 . . . . . 6 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„€) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
1810, 11, 17syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)))
19 breq2 5146 . . . . 5 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
2018, 19syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 β†’ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
218nnne0d 12284 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
22 dvdsval2 16225 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ (2↑𝑁) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
2311, 21, 3, 22syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€))
2423biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€)
25 flid 13797 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / (2↑𝑁)))
2726oveq1d 7429 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = ((𝐴 / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)))
283zcnd 12689 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
308nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
3130adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
32 2cnd 12312 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„‚)
33 2ne0 12338 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 2 β‰  0)
357nn0zd 12606 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3732, 34, 36expne0d 14140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) β‰  0)
3829, 31, 37divcan1d 12013 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((𝐴 / (2↑𝑁)) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴)
3927, 38eqtrd 2767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴)
4039ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴))
4120, 40impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝐴 / (2↑𝑁))) Β· (2↑𝑁)) = 𝐴 ↔ (2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴))
422, 16, 413bitrrd 306 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄)))
43 df-ss 3961 . 2 ((bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘) ↔ ((bitsβ€˜π΄) ∩ (β„€β‰₯β€˜π‘)) = (bitsβ€˜π΄))
4442, 43bitr4di 289 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑁) βˆ₯ 𝐴 ↔ (bitsβ€˜π΄) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130   Β· cmul 11135   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  βŒŠcfl 13779  β†‘cexp 14050   βˆ₯ cdvds 16222  bitscbits 16385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-had 1588  df-cad 1601  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-bits 16388  df-sad 16417
This theorem is referenced by:  bitsshft  16441
  Copyright terms: Public domain W3C validator