Theorem sadeq 15815

Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadeq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadeq	⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadeq

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
2		inidm 4194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
3	2	ineq2i 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
4	1, 3	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
5	4	fveq2i 6667	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6		inass 4195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
7	2	ineq2i 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
8	6, 7	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
9	8	fveq2i 6667	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
10	5, 9	oveq12i 7162	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
11	10	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁))
12		inss1 4204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
13		sadeq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
14	12, 13	sstrid 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
15		inss1 4204	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
16		sadeq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17	15, 16	sstrid 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
18		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
19		sadeq.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	14, 17, 18, 19, 20	sadadd3 15804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
22		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
23	13, 16, 22, 19, 20	sadadd3 15804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
24	11, 21, 23	3eqtr4a 2882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
25		inss1 4204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
26		sadcl 15805	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
27	14, 17, 26	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	sstrid 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		fzofi 13336	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
31		inss2 4205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32		ssfi 8732	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
34		elfpw 8820	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
35	28, 33, 34	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
36		bitsf1o 15788	. . . . . . . 8 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
37		f1ocnv 6621	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
38		f1of 6609	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
40	39	ffvelrni 6844	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
41	35, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
42	41	nn0red 11950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
43		2rp 12388	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
45	19	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	rpexpcld 13602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
47	41	nn0ge0d 11952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
48	41	fvresd 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))))
49		f1ocnvfv2 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
50	36, 35, 49	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
51	48, 50	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
52	51, 31	eqsstrdi 4020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
53	41	nn0zd 12079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
54		bitsfzo 15778	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
55	53, 19, 54	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
56	52, 55	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
57		elfzolt2 13041	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
59		modid 13258	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
60	42, 46, 47, 58, 59	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
61		inss1 4204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
62		sadcl 15805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
63	13, 16, 62	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
64	61, 63	sstrid 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
65		inss2 4205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
66		ssfi 8732	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
67	30, 65, 66	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
68		elfpw 8820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
69	64, 67, 68	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
70	39	ffvelrni 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
72	71	nn0red 11950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
73	71	nn0ge0d 11952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
74	71	fvresd 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
75		f1ocnvfv2 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
76	36, 69, 75	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
77	74, 76	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
78	77, 65	eqsstrdi 4020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
79	71	nn0zd 12079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
80		bitsfzo 15778	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
81	79, 19, 80	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
82	78, 81	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
83		elfzolt2 13041	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
85		modid 13258	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
86	72, 46, 73, 84, 85	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
87	24, 60, 86	3eqtr3rd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
88		f1of1 6608	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
89	36, 37, 88	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
90		f1fveq 7014	. . . 4 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
91	89, 90	mpan 688	. . 3 ⊢ ((((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
92	69, 35, 91	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
93	87, 92	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  caddwcad 1603   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ifcif 4466  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ^◡ccnv 5548   ↾ cres 5551  ⟶wf 6345  –1-1→wf1 6346  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  1_oc1o 8089  2_oc2o 8090  Fincfn 8503  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℝ⁺crp 12383  ..^cfzo 13027   mod cmo 13231  seqcseq 13363  ↑cexp 13423  bitscbits 15762   sadd csad 15763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1590  df-cad 1604  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602  df-bits 15765  df-sad 15794

This theorem is referenced by:  smuval2  15825  smueqlem  15833