Theorem sadeq 16509

Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadeq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadeq	⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadeq

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
2		inidm 4227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
3	2	ineq2i 4217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
4	1, 3	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
5	4	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6		inass 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
7	2	ineq2i 4217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
8	6, 7	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
9	8	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
10	5, 9	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
11	10	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁))
12		inss1 4237	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
13		sadeq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
14	12, 13	sstrid 3995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
15		inss1 4237	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
16		sadeq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17	15, 16	sstrid 3995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
19		sadeq.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	14, 17, 18, 19, 20	sadadd3 16498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
23	13, 16, 22, 19, 20	sadadd3 16498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
24	11, 21, 23	3eqtr4a 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
25		inss1 4237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
26		sadcl 16499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
27	14, 17, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	sstrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		fzofi 14015	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
31		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32		ssfi 9213	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
34		elfpw 9394	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
35	28, 33, 34	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
36		bitsf1o 16482	. . . . . . . 8 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
37		f1ocnv 6860	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
38		f1of 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
40	39	ffvelcdmi 7103	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
41	35, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
42	41	nn0red 12588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
43		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
45	19	nn0zd 12639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	rpexpcld 14286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
47	41	nn0ge0d 12590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
48	41	fvresd 6926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))))
49		f1ocnvfv2 7297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
50	36, 35, 49	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
51	48, 50	eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
52	51, 31	eqsstrdi 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
53	41	nn0zd 12639	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
54		bitsfzo 16472	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
55	53, 19, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
56	52, 55	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
57		elfzolt2 13708	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
59		modid 13936	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
60	42, 46, 47, 58, 59	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
61		inss1 4237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
62		sadcl 16499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
63	13, 16, 62	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
64	61, 63	sstrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
65		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
66		ssfi 9213	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
67	30, 65, 66	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
68		elfpw 9394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
69	64, 67, 68	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
70	39	ffvelcdmi 7103	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
72	71	nn0red 12588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
73	71	nn0ge0d 12590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
74	71	fvresd 6926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
75		f1ocnvfv2 7297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
76	36, 69, 75	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
77	74, 76	eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
78	77, 65	eqsstrdi 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
79	71	nn0zd 12639	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
80		bitsfzo 16472	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
81	79, 19, 80	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
82	78, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
83		elfzolt2 13708	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
85		modid 13936	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
86	72, 46, 73, 84, 85	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
87	24, 60, 86	3eqtr3rd 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
88		f1of1 6847	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
89	36, 37, 88	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
90		f1fveq 7282	. . . 4 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
91	89, 90	mpan 690	. . 3 ⊢ ((((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
92	69, 35, 91	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
93	87, 92	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  caddwcad 1606   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500  Fincfn 8985  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  bitscbits 16456   sadd csad 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-bits 16459  df-sad 16488

This theorem is referenced by:  smuval2  16519  smueqlem  16527