Theorem sadeq 16489

Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadeq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadeq	⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadeq

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
2		inidm 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
3	2	ineq2i 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
4	1, 3	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
5	4	fveq2i 6866	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6		inass 4179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
7	2	ineq2i 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
8	6, 7	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
9	8	fveq2i 6866	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
10	5, 9	oveq12i 7404	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
11	10	oveq1i 7402	. . . 4 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁))
12		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
13		sadeq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
14	12, 13	sstrid 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
15		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
16		sadeq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17	15, 16	sstrid 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
18		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
19		sadeq.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	14, 17, 18, 19, 20	sadadd3 16478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
22		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
23	13, 16, 22, 19, 20	sadadd3 16478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
24	11, 21, 23	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
25		inss1 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
26		sadcl 16479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
27	14, 17, 26	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	sstrid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		fzofi 13984	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
31		inss2 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32		ssfi 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
34		elfpw 9294	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
35	28, 33, 34	sylanbrc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
36		bitsf1o 16462	. . . . . . . 8 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
37		f1ocnv 6815	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
38		f1of 6802	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
40	39	ffvelcdmi 7060	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
41	35, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
42	41	nn0red 12540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
43		2rp 12995	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
45	19	nn0zd 12590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	rpexpcld 14257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
47	41	nn0ge0d 12542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
48	41	fvresd 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))))
49		f1ocnvfv2 7257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
50	36, 35, 49	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
51	48, 50	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
52	51, 31	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
53	41	nn0zd 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
54		bitsfzo 16452	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
55	53, 19, 54	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
56	52, 55	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
57		elfzolt2 13671	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
59		modid 13903	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
60	42, 46, 47, 58, 59	syl22anc 849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
61		inss1 4188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
62		sadcl 16479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
63	13, 16, 62	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
64	61, 63	sstrid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
65		inss2 4189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
66		ssfi 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
67	30, 65, 66	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
68		elfpw 9294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
69	64, 67, 68	sylanbrc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
70	39	ffvelcdmi 7060	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
72	71	nn0red 12540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
73	71	nn0ge0d 12542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
74	71	fvresd 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
75		f1ocnvfv2 7257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
76	36, 69, 75	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
77	74, 76	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
78	77, 65	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
79	71	nn0zd 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
80		bitsfzo 16452	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
81	79, 19, 80	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
82	78, 81	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
83		elfzolt2 13671	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
85		modid 13903	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
86	72, 46, 73, 84, 85	syl22anc 849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
87	24, 60, 86	3eqtr3rd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
88		f1of1 6801	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
89	36, 37, 88	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
90		f1fveq 7242	. . . 4 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
91	89, 90	mpan 700	. . 3 ⊢ ((((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
92	69, 35, 91	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
93	87, 92	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  caddwcad 1625   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5644   ↾ cres 5647  ⟶wf 6513  –1-1→wf1 6514  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  1_oc1o 8425  2_oc2o 8426  Fincfn 8923  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990  ..^cfzo 13656   mod cmo 13876  seqcseq 14011  ↑cexp 14071  bitscbits 16436   sadd csad 16437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-had 1613  df-cad 1626  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-dvds 16270  df-bits 16439  df-sad 16468

This theorem is referenced by:  smuval2  16499  smueqlem  16507