MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadeq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadeq 16413
Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadeq.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadeq.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadeq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sadeq (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Proof of Theorem sadeq
Dummy variables π‘š 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 4220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
2 inidm 4219 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
32ineq2i 4210 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
41, 3eqtri 2761 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
54fveq2i 6895 . . . . . 6 (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6 inass 4220 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐡 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
72ineq2i 4210 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁))
86, 7eqtri 2761 . . . . . . 7 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁))
98fveq2i 6895 . . . . . 6 (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
105, 9oveq12i 7421 . . . . 5 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
1110oveq1i 7419 . . . 4 (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁))
12 inss1 4229 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
13 sadeq.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
1412, 13sstrid 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
15 inss1 4229 . . . . . 6 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
16 sadeq.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
1715, 16sstrid 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
18 eqid 2733 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), π‘š ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)), βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), π‘š ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)), βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
19 sadeq.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
20 eqid 2733 . . . . 5 β—‘(bits β†Ύ β„•0) = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
2114, 17, 18, 19, 20sadadd3 16402 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
22 eqid 2733 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
2313, 16, 22, 19, 20sadadd3 16402 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
2411, 21, 233eqtr4a 2799 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
25 inss1 4229 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
26 sadcl 16403 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0) β†’ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) βŠ† β„•0)
2714, 17, 26syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) βŠ† β„•0)
2825, 27sstrid 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
29 fzofi 13939 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) ∈ Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
31 inss2 4230 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
32 ssfi 9173 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3330, 31, 32sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
34 elfpw 9354 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3528, 33, 34sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
36 bitsf1o 16386 . . . . . . . 8 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
37 f1ocnv 6846 . . . . . . . 8 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
38 f1of 6834 . . . . . . . 8 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
4039ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
4135, 40syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
4241nn0red 12533 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
43 2rp 12979 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
4443a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
4519nn0zd 12584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4644, 45rpexpcld 14210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
4741nn0ge0d 12535 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
4841fvresd 6912 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))))
49 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
5036, 35, 49sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
5148, 50eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
5251, 31eqsstrdi 4037 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
5341nn0zd 12584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
54 bitsfzo 16376 . . . . . . 7 (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
5553, 19, 54syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
5652, 55mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
57 elfzolt2 13641 . . . . 5 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
5856, 57syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
59 modid 13861 . . . 4 ((((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
6042, 46, 47, 58, 59syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
61 inss1 4229 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd 𝐡)
62 sadcl 16403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐡 βŠ† β„•0) β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
6313, 16, 62syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
6461, 63sstrid 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
65 inss2 4230 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
66 ssfi 9173 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
6730, 65, 66sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
68 elfpw 9354 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
6964, 67, 68sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
7039ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
7169, 70syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
7271nn0red 12533 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
7371nn0ge0d 12535 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))
7471fvresd 6912 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))))
75 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))
7636, 69, 75sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))
7774, 76eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))
7877, 65eqsstrdi 4037 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
7971nn0zd 12584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
80 bitsfzo 16376 . . . . . . 7 (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
8179, 19, 80syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
8278, 81mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
83 elfzolt2 13641 . . . . 5 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
8482, 83syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
85 modid 13861 . . . 4 ((((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))
8672, 46, 73, 84, 85syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))))
8724, 60, 863eqtr3rd 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
88 f1of1 6833 . . . . 5 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
8936, 37, 88mp2b 10 . . . 4 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0
90 f1fveq 7261 . . . 4 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
9189, 90mpan 689 . . 3 ((((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
9269, 35, 91syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
9387, 92mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1oc1o 8459  2oc2o 8460  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  bitscbits 16360   sadd csad 16361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392
This theorem is referenced by:  smuval2  16423  smueqlem  16431
  Copyright terms: Public domain W3C validator