Theorem sadeq 16442

Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadeq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadeq	⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadeq

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
2		inidm 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
3	2	ineq2i 4180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
4	1, 3	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
5	4	fveq2i 6861	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6		inass 4191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
7	2	ineq2i 4180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
8	6, 7	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
9	8	fveq2i 6861	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
10	5, 9	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
11	10	oveq1i 7397	. . . 4 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁))
12		inss1 4200	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
13		sadeq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
14	12, 13	sstrid 3958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
15		inss1 4200	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
16		sadeq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17	15, 16	sstrid 3958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
19		sadeq.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	14, 17, 18, 19, 20	sadadd3 16431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
23	13, 16, 22, 19, 20	sadadd3 16431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
24	11, 21, 23	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
25		inss1 4200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
26		sadcl 16432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
27	14, 17, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	sstrid 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		fzofi 13939	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
31		inss2 4201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32		ssfi 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
34		elfpw 9305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
35	28, 33, 34	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
36		bitsf1o 16415	. . . . . . . 8 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
37		f1ocnv 6812	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
38		f1of 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
40	39	ffvelcdmi 7055	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
41	35, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
42	41	nn0red 12504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
43		2rp 12956	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
45	19	nn0zd 12555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	rpexpcld 14212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
47	41	nn0ge0d 12506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
48	41	fvresd 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))))
49		f1ocnvfv2 7252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
50	36, 35, 49	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
51	48, 50	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
52	51, 31	eqsstrdi 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
53	41	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
54		bitsfzo 16405	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
55	53, 19, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
56	52, 55	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
57		elfzolt2 13629	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
58	56, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
59		modid 13858	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
60	42, 46, 47, 58, 59	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
61		inss1 4200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
62		sadcl 16432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
63	13, 16, 62	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
64	61, 63	sstrid 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
65		inss2 4201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
66		ssfi 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
67	30, 65, 66	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
68		elfpw 9305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
69	64, 67, 68	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
70	39	ffvelcdmi 7055	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
72	71	nn0red 12504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
73	71	nn0ge0d 12506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
74	71	fvresd 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
75		f1ocnvfv2 7252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
76	36, 69, 75	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
77	74, 76	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
78	77, 65	eqsstrdi 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
79	71	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
80		bitsfzo 16405	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
81	79, 19, 80	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
82	78, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
83		elfzolt2 13629	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
84	82, 83	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
85		modid 13858	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
86	72, 46, 73, 84, 85	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
87	24, 60, 86	3eqtr3rd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
88		f1of1 6799	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
89	36, 37, 88	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
90		f1fveq 7237	. . . 4 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
91	89, 90	mpan 690	. . 3 ⊢ ((((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
92	69, 35, 91	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
93	87, 92	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  caddwcad 1606   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ifcif 4488  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428  Fincfn 8918  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  ..^cfzo 13615   mod cmo 13831  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  bitscbits 16389   sadd csad 16390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-dvds 16223  df-bits 16392  df-sad 16421

This theorem is referenced by:  smuval2  16452  smueqlem  16460