Theorem sadeq 16566

Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadeq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadeq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
sadeq	⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadeq

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
2		inidm 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
3	2	ineq2i 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
4	1, 3	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁))
5	4	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
6		inass 4176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
7	2	ineq2i 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
8	6, 7	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁))
9	8	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
10	5, 9	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
11	10	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁))
12		inss1 4185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
13		sadeq.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
14	12, 13	sstrid 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
15		inss1 4185	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
16		sadeq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
17	15, 16	sstrid 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
18		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)), 𝑚 ∈ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
19		sadeq.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0) = ◡(bits ↾ ℕ0)
21	14, 17, 18, 19, 20	sadadd3 16555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
23	13, 16, 22, 19, 20	sadadd3 16555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (◡(bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
24	11, 21, 23	3eqtr4a 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
25		inss1 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
26		sadcl 16556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0) → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
27	14, 17, 26	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ⊆ ℕ0)
28	25, 27	sstrid 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
29		fzofi 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
31		inss2 4186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
32		ssfi 9170	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
34		elfpw 9324	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
35	28, 33, 34	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
36		bitsf1o 16539	. . . . . . . 8 ⊢ (bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
37		f1ocnv 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
38		f1of 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
40	39	ffvelcdmi 7079	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
41	35, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
42	41	nn0red 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
43		2rp 13049	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
45	19	nn0zd 12643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	rpexpcld 14313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
47	41	nn0ge0d 12595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
48	41	fvresd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))))
49		f1ocnvfv2 7281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
50	36, 35, 49	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
51	48, 50	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
52	51, 31	eqsstrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
53	41	nn0zd 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
54		bitsfzo 16529	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
55	53, 19, 54	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
56	52, 55	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
57		elfzolt2 13726	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
58	56, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
59		modid 13959	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
60	42, 46, 47, 58, 59	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
61		inss1 4185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
62		sadcl 16556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
63	13, 16, 62	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
64	61, 63	sstrid 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
65		inss2 4186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
66		ssfi 9170	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
67	30, 65, 66	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
68		elfpw 9324	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
69	64, 67, 68	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
70	39	ffvelcdmi 7079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
71	69, 70	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
72	71	nn0red 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
73	71	nn0ge0d 12595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
74	71	fvresd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
75		f1ocnvfv2 7281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((bits ↾ ℕ0):ℕ0–1-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
76	36, 69, 75	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
77	74, 76	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
78	77, 65	eqsstrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
79	71	nn0zd 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
80		bitsfzo 16529	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
81	79, 19, 80	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
82	78, 81	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
83		elfzolt2 13726	. . . . 5 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
84	82, 83	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
85		modid 13959	. . . 4 ⊢ ((((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
86	72, 46, 73, 84, 85	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))))
87	24, 60, 86	3eqtr3rd 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
88		f1of1 6820	. . . . 5 ⊢ (◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0 → ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
89	36, 37, 88	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
90		f1fveq 7262	. . . 4 ⊢ ((◡(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
91	89, 90	mpan 703	. . 3 ⊢ ((((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
92	69, 35, 91	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (◡(bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))) ↔ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
93	87, 92	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) sadd (𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  caddwcad 1639   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13044  ..^cfzo 13711   mod cmo 13932  seqcseq 14067  ↑cexp 14127  bitscbits 16513   sadd csad 16514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-dvds 16347  df-bits 16516  df-sad 16545

This theorem is used by:  smuval2  16576  smueqlem  16584