MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadasslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadasslem 15400
Description: Lemma for sadass 15401. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadasslem.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadasslem.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadasslem.3 (𝜑𝐶 ⊆ ℕ0)
sadasslem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadasslem (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadasslem
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
2 sadasslem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
31, 2syl5ss 3763 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
4 fzofi 12981 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
6 inss2 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
7 ssfi 8336 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
9 elfpw 8424 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
103, 8, 9sylanbrc 572 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
11 bitsf1o 15375 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
12 f1ocnv 6290 . . . . . . . . . . 11 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
13 f1of 6278 . . . . . . . . . . 11 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
1514ffvelrni 6501 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
1610, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11555 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
18 inss1 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
19 sadasslem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
2018, 19syl5ss 3763 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
21 inss2 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
22 ssfi 8336 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
235, 21, 22sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
24 elfpw 8424 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2520, 23, 24sylanbrc 572 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2614ffvelrni 6501 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11555 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
29 inss1 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐶
30 sadasslem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ⊆ ℕ0)
3129, 30syl5ss 3763 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
32 inss2 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
33 ssfi 8336 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
345, 32, 33sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
35 elfpw 8424 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3631, 34, 35sylanbrc 572 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3714ffvelrni 6501 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11555 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
4017, 28, 39addassd 10264 . . . . . 6 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))))
4140oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → (((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
42 inss1 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
43 sadcl 15392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
442, 19, 43syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
4542, 44syl5ss 3763 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
46 inss2 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
47 ssfi 8336 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
485, 46, 47sylancl 574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
49 elfpw 8424 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5045, 48, 49sylanbrc 572 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
5114ffvelrni 6501 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5352nn0red 11554 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5416nn0red 11554 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5527nn0red 11554 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5654, 55readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
5738nn0red 11554 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
58 2rp 12040 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
60 sadasslem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6160nn0zd 11682 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6259, 61rpexpcld 13239 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
63 eqid 2771 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
64 eqid 2771 . . . . . . 7 (bits ↾ ℕ0) = (bits ↾ ℕ0)
652, 19, 63, 60, 64sadadd3 15391 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
66 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
6753, 56, 57, 57, 62, 65, 66modadd12d 12934 . . . . 5 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
68 inss1 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐵 sadd 𝐶)
69 sadcl 15392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7019, 30, 69syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7168, 70syl5ss 3763 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
72 inss2 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
73 ssfi 8336 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
745, 72, 73sylancl 574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
75 elfpw 8424 . . . . . . . . 9 (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
7671, 74, 75sylanbrc 572 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7714ffvelrni 6501 . . . . . . . 8 (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7978nn0red 11554 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
8055, 57readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
81 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
82 eqid 2771 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
8319, 30, 82, 60, 64sadadd3 15391 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
8454, 54, 79, 80, 62, 81, 83modadd12d 12934 . . . . 5 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
8541, 67, 843eqtr4d 2815 . . . 4 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
86 eqid 2771 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
8744, 30, 86, 60, 64sadadd3 15391 . . . 4 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
88 eqid 2771 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚 ∈ (𝐵 sadd 𝐶), ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚 ∈ (𝐵 sadd 𝐶), ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
892, 70, 88, 60, 64sadadd3 15391 . . . 4 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
9085, 87, 893eqtr4d 2815 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
91 inss1 3981 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶)
92 sadcl 15392 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
9344, 30, 92syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
9491, 93syl5ss 3763 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
95 inss2 3982 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
96 ssfi 8336 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
975, 95, 96sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
98 elfpw 8424 . . . . . . 7 ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
9994, 97, 98sylanbrc 572 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
10014ffvelrni 6501 . . . . . 6 ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
10199, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
102101nn0red 11554 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103101nn0ge0d 11556 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
104 fvres 6348 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))))
105101, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))))
106 f1ocnvfv2 6676 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
10711, 99, 106sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
108105, 107eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
109108, 95syl6eqss 3804 . . . . . 6 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
110101nn0zd 11682 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
111 bitsfzo 15365 . . . . . . 7 ((((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
112110, 60, 111syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
113109, 112mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
114 elfzolt2 12687 . . . . 5 (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
115113, 114syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
116 modid 12903 . . . 4 (((((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∧ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
117102, 62, 103, 115, 116syl22anc 1477 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
118 inss1 3981 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))
119 sadcl 15392 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
1202, 70, 119syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
121118, 120syl5ss 3763 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
122 inss2 3982 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
123 ssfi 8336 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1245, 122, 123sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
125 elfpw 8424 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
126121, 124, 125sylanbrc 572 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
12714ffvelrni 6501 . . . . . 6 (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
128126, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
129128nn0red 11554 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
130 2nn 11387 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
131130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
132131, 60nnexpcld 13237 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
133132nnrpd 12073 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
134128nn0ge0d 11556 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
135 fvres 6348 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))))
136128, 135syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))))
137 f1ocnvfv2 6676 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
13811, 126, 137sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
139136, 138eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
140139, 122syl6eqss 3804 . . . . . 6 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
141128nn0zd 11682 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
142 bitsfzo 15365 . . . . . . 7 ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
143141, 60, 142syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
144140, 143mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
145 elfzolt2 12687 . . . . 5 (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
146144, 145syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
147 modid 12903 . . . 4 (((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
148129, 133, 134, 146, 147syl22anc 1477 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
14990, 117, 1483eqtr3d 2813 . 2 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
150 f1of1 6277 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
15111, 12, 150mp2b 10 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
152 f1fveq 6662 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
153151, 152mpan 670 . . 3 (((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
15499, 126, 153syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
155149, 154mpbid 222 1 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  caddwcad 1693  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  cres 5251  wf 6027  1-1wf1 6028  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707  Fincfn 8109  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  +crp 12035  ..^cfzo 12673   mod cmo 12876  seqcseq 13008  cexp 13067  bitscbits 15349   sadd csad 15350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-fal 1637  df-had 1681  df-cad 1694  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-bits 15352  df-sad 15381
This theorem is referenced by:  sadass  15401
  Copyright terms: Public domain W3C validator