MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadasslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadasslem 16408
Description: Lemma for sadass 16409. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadasslem.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadasslem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadasslem.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† β„•0)
sadasslem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
sadasslem (πœ‘ β†’ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))
Proof of Theorem sadasslem
Dummy variables 𝑐 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
2 sadasslem.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
31, 2sstrid 3993 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
4 fzofi 13936 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
6 inss2 4229 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
7 ssfi 9170 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
9 elfpw 9351 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
103, 8, 9sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
11 bitsf1o 16383 . . . . . . . . . . 11 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
12 f1ocnv 6843 . . . . . . . . . . 11 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
13 f1of 6831 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . 10 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
1514ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
1610, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
1716nn0cnd 12531 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
18 inss1 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
19 sadasslem.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
2018, 19sstrid 3993 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
21 inss2 4229 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
22 ssfi 9170 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
235, 21, 22sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
24 elfpw 9351 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2520, 23, 24sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
2614ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2827nn0cnd 12531 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
29 inss1 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐢
30 sadasslem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† β„•0)
3129, 30sstrid 3993 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
32 inss2 4229 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
33 ssfi 9170 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
345, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
35 elfpw 9351 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐢 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3631, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
3714ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3938nn0cnd 12531 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
4017, 28, 39addassd 11233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) = ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))))))
4140oveq1d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
42 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd 𝐡)
43 sadcl 16400 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝐡 βŠ† β„•0) β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
442, 19, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0)
4542, 44sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
46 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
47 ssfi 9170 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
485, 46, 47sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
49 elfpw 9351 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5045, 48, 49sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
5114ffvelcdmi 7083 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
5352nn0red 12530 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5416nn0red 12530 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5527nn0red 12530 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5654, 55readdcld 11240 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
5738nn0red 12530 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
58 2rp 12976 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5958a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
60 sadasslem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6160nn0zd 12581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6259, 61rpexpcld 14207 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
63 eqid 2733 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
64 eqid 2733 . . . . . . 7 β—‘(bits β†Ύ β„•0) = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
652, 19, 63, 60, 64sadadd3 16399 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
66 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
6753, 56, 57, 57, 62, 65, 66modadd12d 13889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
68 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐡 sadd 𝐢)
69 sadcl 16400 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βŠ† β„•0 ∧ 𝐢 βŠ† β„•0) β†’ (𝐡 sadd 𝐢) βŠ† β„•0)
7019, 30, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 sadd 𝐢) βŠ† β„•0)
7168, 70sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
72 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
73 ssfi 9170 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
745, 72, 73sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
75 elfpw 9351 . . . . . . . . 9 (((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
7671, 74, 75sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
7714ffvelcdmi 7083 . . . . . . . 8 (((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
7978nn0red 12530 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
8055, 57readdcld 11240 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
81 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
82 eqid 2733 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐡, π‘š ∈ 𝐢, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐡, π‘š ∈ 𝐢, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
8319, 30, 82, 60, 64sadadd3 16399 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
8454, 54, 79, 80, 62, 81, 83modadd12d 13889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
8541, 67, 843eqtr4d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
86 eqid 2733 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ (𝐴 sadd 𝐡), π‘š ∈ 𝐢, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ (𝐴 sadd 𝐡), π‘š ∈ 𝐢, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
8744, 30, 86, 60, 64sadadd3 16399 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd 𝐡) ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐢 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
88 eqid 2733 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ (𝐡 sadd 𝐢), βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ (𝐡 sadd 𝐢), βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
892, 70, 88, 60, 64sadadd3 16399 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐡 sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
9085, 87, 893eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
91 inss1 4228 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† ((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢)
92 sadcl 16400 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐡) βŠ† β„•0 ∧ 𝐢 βŠ† β„•0) β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) βŠ† β„•0)
9344, 30, 92syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) βŠ† β„•0)
9491, 93sstrid 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
95 inss2 4229 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
96 ssfi 9170 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
975, 95, 96sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
98 elfpw 9351 . . . . . . 7 ((((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
9994, 97, 98sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
10014ffvelcdmi 7083 . . . . . 6 ((((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
10199, 100syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
102101nn0red 12530 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103101nn0ge0d 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))))
104101fvresd 6909 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))))
105 f1ocnvfv2 7272 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))
10611, 99, 105sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))
107104, 106eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))
108107, 95eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
109101nn0zd 12581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
110 bitsfzo 16373 . . . . . . 7 (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
111109, 60, 110syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
112108, 111mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
113 elfzolt2 13638 . . . . 5 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
114112, 113syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
115 modid 13858 . . . 4 ((((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))))
116102, 62, 103, 114, 115syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))))
117 inss1 4228 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢))
118 sadcl 16400 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 sadd 𝐢) βŠ† β„•0) β†’ (𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) βŠ† β„•0)
1192, 70, 118syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) βŠ† β„•0)
120117, 119sstrid 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
121 inss2 4229 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
122 ssfi 9170 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1235, 121, 122sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
124 elfpw 9351 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
125120, 123, 124sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
12614ffvelcdmi 7083 . . . . . 6 (((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
127125, 126syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
128127nn0red 12530 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
129 2nn 12282 . . . . . . 7 2 ∈ β„•
130129a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
131130, 60nnexpcld 14205 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
132131nnrpd 13011 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
133127nn0ge0d 12532 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
134127fvresd 6909 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))))
135 f1ocnvfv2 7272 . . . . . . . . 9 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))
13611, 125, 135sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))
137134, 136eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))
138137, 121eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
139127nn0zd 12581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
140 bitsfzo 16373 . . . . . . 7 (((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
141139, 60, 140syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
142138, 141mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
143 elfzolt2 13638 . . . . 5 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
144142, 143syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
145 modid 13858 . . . 4 ((((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
146128, 132, 133, 144, 145syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
14790, 116, 1463eqtr3d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
148 f1of1 6830 . . . . 5 (β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0)
14911, 12, 148mp2b 10 . . . 4 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0
150 f1fveq 7258 . . . 4 ((β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1β†’β„•0 ∧ ((((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
151149, 150mpan 689 . . 3 (((((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
15299, 125, 151syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁))))
153147, 152mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (((𝐴 sadd 𝐡) sadd 𝐢) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐡 sadd 𝐢)) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1oc1o 8456  2oc2o 8457  Fincfn 8936  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„+crp 12971  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  bitscbits 16357   sadd csad 16358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360  df-sad 16389
This theorem is referenced by:  sadass  16409
  Copyright terms: Public domain W3C validator