MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadasslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadasslem 16350
Description: Lemma for sadass 16351. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadasslem.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadasslem.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadasslem.3 (𝜑𝐶 ⊆ ℕ0)
sadasslem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadasslem (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))

Proof of Theorem sadasslem
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4188 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
2 sadasslem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
31, 2sstrid 3955 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
4 fzofi 13879 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
6 inss2 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
7 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
9 elfpw 9298 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
103, 8, 9sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
11 bitsf1o 16325 . . . . . . . . . . 11 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
12 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . . 11 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
13 f1of 6784 . . . . . . . . . . 11 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
1514ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
1610, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 12475 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
18 inss1 4188 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
19 sadasslem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
2018, 19sstrid 3955 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
21 inss2 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
22 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
235, 21, 22sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
24 elfpw 9298 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
2520, 23, 24sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
2614ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12475 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
29 inss1 4188 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐶
30 sadasslem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ⊆ ℕ0)
3129, 30sstrid 3955 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
32 inss2 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
33 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
345, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
35 elfpw 9298 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3631, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3714ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 12475 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
4017, 28, 39addassd 11177 . . . . . 6 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))))
4140oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
42 inss1 4188 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
43 sadcl 16342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
442, 19, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
4542, 44sstrid 3955 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
46 inss2 4189 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
47 ssfi 9117 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
485, 46, 47sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
49 elfpw 9298 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5045, 48, 49sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
5114ffvelcdmi 7034 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5352nn0red 12474 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5416nn0red 12474 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5527nn0red 12474 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
5654, 55readdcld 11184 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
5738nn0red 12474 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
58 2rp 12920 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
60 sadasslem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6160nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6259, 61rpexpcld 14150 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
63 eqid 2736 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
64 eqid 2736 . . . . . . 7 (bits ↾ ℕ0) = (bits ↾ ℕ0)
652, 19, 63, 60, 64sadadd3 16341 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
66 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
6753, 56, 57, 57, 62, 65, 66modadd12d 13832 . . . . 5 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = (((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
68 inss1 4188 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐵 sadd 𝐶)
69 sadcl 16342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7019, 30, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7168, 70sstrid 3955 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
72 inss2 4189 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
73 ssfi 9117 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
745, 72, 73sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
75 elfpw 9298 . . . . . . . . 9 (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
7671, 74, 75sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
7714ffvelcdmi 7034 . . . . . . . 8 (((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7978nn0red 12474 . . . . . 6 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
8055, 57readdcld 11184 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
81 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
82 eqid 2736 . . . . . . 7 seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
8319, 30, 82, 60, 64sadadd3 16341 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
8454, 54, 79, 80, 62, 81, 83modadd12d 13832 . . . . 5 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁))))) mod (2↑𝑁)))
8541, 67, 843eqtr4d 2786 . . . 4 (𝜑 → ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
86 eqid 2736 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), 𝑚𝐶, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
8744, 30, 86, 60, 64sadadd3 16341 . . . 4 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐶 ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
88 eqid 2736 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚 ∈ (𝐵 sadd 𝐶), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚 ∈ (𝐵 sadd 𝐶), ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
892, 70, 88, 60, 64sadadd3 16341 . . . 4 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐵 sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
9085, 87, 893eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)))
91 inss1 4188 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶)
92 sadcl 16342 . . . . . . . . 9 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
9344, 30, 92syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
9491, 93sstrid 3955 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
95 inss2 4189 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
96 ssfi 9117 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
975, 95, 96sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
98 elfpw 9298 . . . . . . 7 ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
9994, 97, 98sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
10014ffvelcdmi 7034 . . . . . 6 ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
10199, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
102101nn0red 12474 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103101nn0ge0d 12476 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
104101fvresd 6862 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))))
105 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
10611, 99, 105sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
107104, 106eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) = (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))
108107, 95eqsstrdi 3998 . . . . . 6 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
109101nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
110 bitsfzo 16315 . . . . . . 7 ((((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
111109, 60, 110syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
112108, 111mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
113 elfzolt2 13581 . . . . 5 (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
114112, 113syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
115 modid 13801 . . . 4 (((((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) ∧ ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
116102, 62, 103, 114, 115syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))))
117 inss1 4188 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))
118 sadcl 16342 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
1192, 70, 118syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
120117, 119sstrid 3955 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
121 inss2 4189 . . . . . . . 8 ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
122 ssfi 9117 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1235, 121, 122sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
124 elfpw 9298 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
125120, 123, 124sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
12614ffvelcdmi 7034 . . . . . 6 (((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
127125, 126syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
128127nn0red 12474 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
129 2nn 12226 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
130129a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
131130, 60nnexpcld 14148 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
132131nnrpd 12955 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
133127nn0ge0d 12476 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
134127fvresd 6862 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))))
135 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . . . 9 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
13611, 125, 135sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
137134, 136eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
138137, 121eqsstrdi 3998 . . . . . 6 (𝜑 → (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
139127nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
140 bitsfzo 16315 . . . . . . 7 ((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
141139, 60, 140syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
142138, 141mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
143 elfzolt2 13581 . . . . 5 (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
144142, 143syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
145 modid 13801 . . . 4 (((((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
146128, 132, 133, 144, 145syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
14790, 116, 1463eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
148 f1of1 6783 . . . . 5 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0)
14911, 12, 148mp2b 10 . . . 4 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0
150 f1fveq 7209 . . . 4 (((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1→ℕ0 ∧ ((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
151149, 150mpan 688 . . 3 (((((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
15299, 125, 151syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁))))
153147, 152mpbid 231 1 (𝜑 → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^𝑁)) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  caddwcad 1607  wcel 2106  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cres 5635  wf 6492  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1oc1o 8405  2oc2o 8406  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  seqcseq 13906  cexp 13967  bitscbits 16299   sadd csad 16300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-bits 16302  df-sad 16331
This theorem is referenced by:  sadass  16351
  Copyright terms: Public domain W3C validator