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Theorem fpwrelmap 32499
Description: Define a canonical mapping between functions from 𝐴 into subsets of 𝐡 and the relations with domain 𝐴 and range within 𝐡. Note that the same relation is used in axdc2lem 10463 and marypha2lem1 9450. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1 𝐴 ∈ V
fpwrelmap.2 𝐡 ∈ V
fpwrelmap.3 𝑀 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
Assertion
Ref Expression
fpwrelmap 𝑀:(𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝐴   𝐡,𝑓,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem fpwrelmap
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . 3 𝑀 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ V)
4 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
5 elmapi 8859 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ 𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
65ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡)
8 elelpwi 4608 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
94, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
109ex 412 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
1110alrimiv 1923 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
12 abss 4053 . . . . . . 7 ({𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
13 fpwrelmap.2 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
1413ssex 5315 . . . . . . 7 ({𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} ∈ V)
1512, 14sylbir 234 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} ∈ V)
173, 16opabex3d 7963 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} ∈ V)
1817adantl 481 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} ∈ V)
192mptex 7229 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 ((⊀ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}) ∈ V)
2110imdistanda 571 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
2221ssopab2dv 5547 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} βŠ† {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)})
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} βŠ† {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)})
24 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
25 df-xp 5678 . . . . . . . . 9 (𝐴 Γ— 𝐡) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)}
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)})
2723, 24, 263sstr4d 4025 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
28 velpw 4603 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
2927, 28sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡))
305feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
32 nfv 1910 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)
33 nfopab1 5212 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
3433nfeq2 2915 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
3532, 34nfan 1895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
36 df-rab 3428 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)}
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)})
38 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)
39 nfopab2 5213 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
4039nfeq2 2915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
4138, 40nfan 1895 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
42 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ 𝐴
4341, 42nfan 1895 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)
449adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
45 df-br 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ)
46 eleq2 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}))
47 opabidw 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
4846, 47bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
4945, 48bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
51 elfvdm 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑓)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑓)
535fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
5552, 54eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5655ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
5756pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
5950, 58bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
6059biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)
6144, 60jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦))
6261ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
6359biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
6463adantld 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
6562, 64impbid 211 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
6643, 65abbid 2798 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)})
67 abid2 2866 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} = (π‘“β€˜π‘₯)
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} = (π‘“β€˜π‘₯))
6937, 66, 683eqtr2rd 2774 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
7035, 69mpteq2da 5240 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
7131, 70eqtrd 2767 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
7229, 71jca 511 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})))
73 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} βŠ† 𝐡
7413, 73elpwi2 5342 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ 𝒫 𝐡
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ 𝒫 𝐡)
7675fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}):π΄βŸΆπ’« 𝐡)
7776adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}):π΄βŸΆπ’« 𝐡)
78 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
7978feq1d 6701 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}):π΄βŸΆπ’« 𝐡))
8077, 79mpbird 257 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ 𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
8113pwex 5374 . . . . . . . 8 𝒫 𝐡 ∈ V
8281, 2elmap 8881 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
8380, 82sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴))
84 elpwi 4605 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
8584adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
86 xpss 5688 . . . . . . . . 9 (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)
8785, 86sstrdi 3990 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ π‘Ÿ βŠ† (V Γ— V))
88 df-rel 5679 . . . . . . . 8 (Rel π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ βŠ† (V Γ— V))
8987, 88sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ Rel π‘Ÿ)
90 relopabv 5817 . . . . . . . 8 Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
9190a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
92 id 22 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})))
93 nfv 1910 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
94 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
9594nfeq2 2915 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
9693, 95nfan 1895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
97 nfv 1910 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
9842nfci 2881 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦𝐴
99 nfrab1 3446 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}
10098, 99nfmpt 5249 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
101100nfeq2 2915 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
10297, 101nfan 1895 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
103 nfcv 2898 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘Ÿ
104 nfcv 2898 . . . . . . . 8 β„²π‘¦π‘Ÿ
105 brelg 32382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
10684, 105sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
108107simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
109107simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
110 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)
11178fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})β€˜π‘₯))
11213rabex 5328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ V
113 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
114113fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
115112, 114mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
116111, 115sylan9eq 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
117116eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
118 rabid 3447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦))
119117, 118bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
120108, 119syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
121109, 110, 120mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
122108, 121jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
123122ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
124119simplbda 499 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)
125124expl 457 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦))
126123, 125impbid 211 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
12745, 126bitr3id 285 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
128127, 47bitr4di 289 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}))
12996, 102, 103, 104, 33, 39, 128eqrelrd2 32389 . . . . . . 7 (((Rel π‘Ÿ ∧ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))) β†’ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
13089, 91, 92, 129syl21anc 837 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
13183, 130jca 511 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}))
13272, 131impbii 208 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})))
133132a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))))
1341, 18, 20, 133f1od 7667 . 2 (⊀ β†’ 𝑀:(𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡))
135134mptru 1541 1 𝑀:(𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1532   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099  {cab 2704  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  {copab 5204   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8838
This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  32500
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