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Theorem fpwrelmap 31958
Description: Define a canonical mapping between functions from 𝐴 into subsets of 𝐡 and the relations with domain 𝐴 and range within 𝐡. Note that the same relation is used in axdc2lem 10443 and marypha2lem1 9430. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1 𝐴 ∈ V
fpwrelmap.2 𝐡 ∈ V
fpwrelmap.3 𝑀 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
Assertion
Ref Expression
fpwrelmap 𝑀:(𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝐴   𝐡,𝑓,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem fpwrelmap
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . 3 𝑀 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ V)
4 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
5 elmapi 8843 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ 𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
65ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡)
76adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡)
8 elelpwi 4613 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
94, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
109ex 414 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
1110alrimiv 1931 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
12 abss 4058 . . . . . . 7 ({𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
13 fpwrelmap.2 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
1413ssex 5322 . . . . . . 7 ({𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} ∈ V)
1512, 14sylbir 234 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} ∈ V)
173, 16opabex3d 7952 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} ∈ V)
1817adantl 483 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} ∈ V)
192mptex 7225 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 ((⊀ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}) ∈ V)
2110imdistanda 573 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
2221ssopab2dv 5552 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} βŠ† {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)})
2322adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} βŠ† {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)})
24 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
25 df-xp 5683 . . . . . . . . 9 (𝐴 Γ— 𝐡) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)}
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)})
2723, 24, 263sstr4d 4030 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
28 velpw 4608 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
2927, 28sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡))
305feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
32 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)
33 nfopab1 5219 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
3433nfeq2 2921 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
3532, 34nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
36 df-rab 3434 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)}
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)})
38 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)
39 nfopab2 5220 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
4039nfeq2 2921 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
4138, 40nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ 𝐴
4341, 42nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)
449adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
45 df-br 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ)
46 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}))
47 opabidw 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
4846, 47bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
4945, 48bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))} β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
51 elfvdm 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑓)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑓)
535fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
5552, 54eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
5756pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
5950, 58bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
6059biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)
6144, 60jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦))
6261ex 414 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
6359biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
6463adantld 492 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
6562, 64impbid 211 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
6643, 65abbid 2804 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)})
67 abid2 2872 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} = (π‘“β€˜π‘₯)
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)} = (π‘“β€˜π‘₯))
6937, 66, 683eqtr2rd 2780 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
7035, 69mpteq2da 5247 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
7131, 70eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
7229, 71jca 513 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})))
73 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} βŠ† 𝐡
7413, 73elpwi2 5347 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ 𝒫 𝐡
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ 𝒫 𝐡)
7675fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}):π΄βŸΆπ’« 𝐡)
7776adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}):π΄βŸΆπ’« 𝐡)
78 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
7978feq1d 6703 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}):π΄βŸΆπ’« 𝐡))
8077, 79mpbird 257 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ 𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
8113pwex 5379 . . . . . . . 8 𝒫 𝐡 ∈ V
8281, 2elmap 8865 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
8380, 82sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴))
84 elpwi 4610 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
8584adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
86 xpss 5693 . . . . . . . . 9 (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)
8785, 86sstrdi 3995 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ π‘Ÿ βŠ† (V Γ— V))
88 df-rel 5684 . . . . . . . 8 (Rel π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ βŠ† (V Γ— V))
8987, 88sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ Rel π‘Ÿ)
90 relopabv 5822 . . . . . . . 8 Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}
9190a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
92 id 22 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})))
93 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
94 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
9594nfeq2 2921 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
9693, 95nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
97 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
9842nfci 2887 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦𝐴
99 nfrab1 3452 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}
10098, 99nfmpt 5256 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
101100nfeq2 2921 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
10297, 101nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
103 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘Ÿ
104 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘¦π‘Ÿ
105 brelg 31838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ÿ βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
10684, 105sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
108107simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
109107simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
110 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)
11178fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})β€˜π‘₯))
11213rabex 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ V
113 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
114113fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
115112, 114mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
116111, 115sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})
117116eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))
118 rabid 3453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦} ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦))
119117, 118bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
120108, 119syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)))
121109, 110, 120mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))
122108, 121jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯π‘Ÿπ‘¦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)))
123122ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
124119simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦)
125124expl 459 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯π‘Ÿπ‘¦))
126123, 125impbid 211 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (π‘₯π‘Ÿπ‘¦ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
12745, 126bitr3id 285 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))))
128127, 47bitr4di 289 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ π‘Ÿ ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}))
12996, 102, 103, 104, 33, 39, 128eqrelrd2 31845 . . . . . . 7 (((Rel π‘Ÿ ∧ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))) β†’ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
13089, 91, 92, 129syl21anc 837 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))})
13183, 130jca 513 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})) β†’ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}))
13272, 131impbii 208 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦})))
133132a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝐴) ∧ π‘Ÿ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘₯))}) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ {𝑦 ∈ 𝐡 ∣ π‘₯π‘Ÿπ‘¦}))))
1341, 18, 20, 133f1od 7658 . 2 (⊀ β†’ 𝑀:(𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡))
135134mptru 1549 1 𝑀:(𝒫 𝐡 ↑m 𝐴)–1-1-onto→𝒫 (𝐴 Γ— 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  {cab 2710  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822
This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  31959
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