MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexval 19538
Description: Value of the exponent of a group. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
gexval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
gexval.4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexval (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem gexval
Dummy variables ๐‘” ๐‘– are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexval.4 . 2 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
2 df-gex 19489 . . 3 gEx = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
3 nnex 12254 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
43rabex 5336 . . . . 5 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โˆˆ V
54a1i 11 . . . 4 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โˆˆ V)
6 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
76fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
8 gexval.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
97, 8eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‹)
106fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
11 gexval.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ยท = (.gโ€˜๐บ)
1210, 11eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
1312oveqd 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
146fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
15 gexval.3 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gโ€˜๐บ)
1614, 15eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
1713, 16eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
189, 17raleqbidv 3338 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
1918rabbidv 3436 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
20 gexval.i . . . . . . . . 9 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
2119, 20eqtr4di 2785 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = ๐ผ)
2221eqeq2d 2738 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โ†” ๐‘– = ๐ผ))
2322biimpa 475 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ ๐‘– = ๐ผ)
2423eqeq1d 2729 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ (๐‘– = โˆ… โ†” ๐ผ = โˆ…))
2523infeq1d 9506 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ inf(๐‘–, โ„, < ) = inf(๐ผ, โ„, < ))
2624, 25ifbieq2d 4556 . . . 4 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ if(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
275, 26csbied 3930 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
28 elex 3490 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
29 c0ex 11244 . . . . 5 0 โˆˆ V
30 ltso 11330 . . . . . 6 < Or โ„
3130infex 9522 . . . . 5 inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ V
3229, 31ifex 4580 . . . 4 if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V
3332a1i 11 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V)
342, 27, 28, 33fvmptd2 7016 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (gExโ€˜๐บ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
351, 34eqtrid 2779 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3471  โฆ‹csb 3892  โˆ…c0 4324  ifcif 4530  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  infcinf 9470  โ„cr 11143  0cc0 11144   < clt 11284  โ„•cn 12248  Basecbs 17185  0gc0g 17426  .gcmg 19028  gExcgex 19485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-mulcl 11206  ax-i2m1 11212  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-nn 12249  df-gex 19489
This theorem is referenced by:  gexlem1  19539  gexlem2  19542
  Copyright terms: Public domain W3C validator