MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexval 19367
Description: Value of the exponent of a group. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
gexval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
gexval.4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexval (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem gexval
Dummy variables ๐‘” ๐‘– are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexval.4 . 2 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
2 df-gex 19318 . . 3 gEx = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
3 nnex 12166 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
43rabex 5294 . . . . 5 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โˆˆ V
54a1i 11 . . . 4 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โˆˆ V)
6 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
76fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
8 gexval.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
97, 8eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‹)
106fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
11 gexval.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ยท = (.gโ€˜๐บ)
1210, 11eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
1312oveqd 7379 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
146fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
15 gexval.3 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gโ€˜๐บ)
1614, 15eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
1713, 16eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
189, 17raleqbidv 3322 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
1918rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
20 gexval.i . . . . . . . . 9 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
2119, 20eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = ๐ผ)
2221eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โ†” ๐‘– = ๐ผ))
2322biimpa 478 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ ๐‘– = ๐ผ)
2423eqeq1d 2739 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ (๐‘– = โˆ… โ†” ๐ผ = โˆ…))
2523infeq1d 9420 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ inf(๐‘–, โ„, < ) = inf(๐ผ, โ„, < ))
2624, 25ifbieq2d 4517 . . . 4 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ if(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
275, 26csbied 3898 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
28 elex 3466 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
29 c0ex 11156 . . . . 5 0 โˆˆ V
30 ltso 11242 . . . . . 6 < Or โ„
3130infex 9436 . . . . 5 inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ V
3229, 31ifex 4541 . . . 4 if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V
3332a1i 11 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V)
342, 27, 28, 33fvmptd2 6961 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (gExโ€˜๐บ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
351, 34eqtrid 2789 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  โฆ‹csb 3860  โˆ…c0 4287  ifcif 4491  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196  โ„•cn 12160  Basecbs 17090  0gc0g 17328  .gcmg 18879  gExcgex 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-nn 12161  df-gex 19318
This theorem is referenced by:  gexlem1  19368  gexlem2  19371
  Copyright terms: Public domain W3C validator