MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexval 19496
Description: Value of the exponent of a group. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
gexval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
gexval.4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexval (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem gexval
Dummy variables ๐‘” ๐‘– are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexval.4 . 2 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
2 df-gex 19447 . . 3 gEx = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
3 nnex 12219 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
43rabex 5325 . . . . 5 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โˆˆ V
54a1i 11 . . . 4 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โˆˆ V)
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
76fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
8 gexval.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
97, 8eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‹)
106fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
11 gexval.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ยท = (.gโ€˜๐บ)
1210, 11eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
1312oveqd 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
146fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
15 gexval.3 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gโ€˜๐บ)
1614, 15eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
1713, 16eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
189, 17raleqbidv 3336 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
1918rabbidv 3434 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
20 gexval.i . . . . . . . . 9 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
2119, 20eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = ๐ผ)
2221eqeq2d 2737 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} โ†” ๐‘– = ๐ผ))
2322biimpa 476 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ ๐‘– = ๐ผ)
2423eqeq1d 2728 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ (๐‘– = โˆ… โ†” ๐ผ = โˆ…))
2523infeq1d 9471 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ inf(๐‘–, โ„, < ) = inf(๐ผ, โ„, < ))
2624, 25ifbieq2d 4549 . . . 4 (((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โˆง ๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)}) โ†’ if(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
275, 26csbied 3926 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)(๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
28 elex 3487 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
29 c0ex 11209 . . . . 5 0 โˆˆ V
30 ltso 11295 . . . . . 6 < Or โ„
3130infex 9487 . . . . 5 inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ V
3229, 31ifex 4573 . . . 4 if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V
3332a1i 11 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V)
342, 27, 28, 33fvmptd2 6999 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (gExโ€˜๐บ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
351, 34eqtrid 2778 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888  โˆ…c0 4317  ifcif 4523  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  infcinf 9435  โ„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  โ„•cn 12213  Basecbs 17151  0gc0g 17392  .gcmg 18993  gExcgex 19443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-mulcl 11171  ax-i2m1 11177  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-nn 12214  df-gex 19447
This theorem is referenced by:  gexlem1  19497  gexlem2  19500
  Copyright terms: Public domain W3C validator