Theorem gexlem2 19499

Description: Any positive annihilator of all the group elements is an upper bound on the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexlem2	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, ·

Proof of Theorem gexlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
2	1	eqeq1d 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
3	2	ralbidv 3171	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4	3	elrab 3678	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5		gexcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		gexid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		gexid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		gexcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
10	5, 6, 7, 8, 9	gexval 19495	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )))
11		ne0i 4329	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅)
12		ifnefalse 4535	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅ → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
14	10, 13	sylan9eq 2786	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → 𝐸 = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
15		ssrab2 4072	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
16		nnuz 12866	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	sseqtri 4013	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1)
18	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅)
19		infssuzcl 12917	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 })
20	17, 18, 19	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 })
21	15, 20	sselid 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
22		infssuzle 12916	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
23	17, 22	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
25		elrabi 3672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
27		fznn 13572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
30	21, 24, 29	mpbir2and 710	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
31	14, 30	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
32	4, 31	sylan2br 594	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
33	32	3impb 1112	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  {crab 3426   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  infcinf 9435  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12213  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  Basecbs 17150  0_gc0g 17391  ._gcmg 18992  gExcgex 19442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-gex 19446

This theorem is referenced by:  gexdvds  19501  gexcl3  19504  gex1  19508