Theorem gexlem2 19776

Description: Any positive annihilator of all the group elements is an upper bound on the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexlem2	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, ·

Proof of Theorem gexlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
2	1	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
3	2	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4	3	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5		gexcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		gexid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		gexid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		gexcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
10	5, 6, 7, 8, 9	gexval 19772	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )))
11		ne0i 4287	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅)
12		ifnefalse 4494	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅ → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
14	10, 13	sylan9eq 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → 𝐸 = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ))
15		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
16		nnuz 12985	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	sseqtri 3979	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1)
18	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅)
19		infssuzcl 13040	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 })
20	17, 18, 19	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 })
21	15, 20	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
22		infssuzle 13039	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
23	17, 22	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
25		elrabi 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
27		fznn 13706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
29	28	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
30	21, 24, 29	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
31	14, 30	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
32	4, 31	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))
33	32	3impb 1132	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  infcinf 9417  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  ._gcmg 19257  gExcgex 19719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-gex 19723

This theorem is used by:  gexdvds  19778  gexcl3  19781  gex1  19785