![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gexlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
gexval.1 | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
gexval.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
gexval.3 | โข 0 = (0gโ๐บ) |
gexval.4 | โข ๐ธ = (gExโ๐บ) |
gexval.i | โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } |
Ref | Expression |
---|---|
gexlem1 | โข (๐บ โ ๐ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gexval.1 | . . 3 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
2 | gexval.2 | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | gexval.3 | . . 3 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
4 | gexval.4 | . . 3 โข ๐ธ = (gExโ๐บ) | |
5 | gexval.i | . . 3 โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | gexval 19496 | . 2 โข (๐บ โ ๐ โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
7 | eqeq2 2738 | . . . 4 โข (0 = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ (๐ธ = 0 โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )))) | |
8 | 7 | imbi1d 341 | . . 3 โข (0 = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)))) |
9 | eqeq2 2738 | . . . 4 โข (inf(๐ผ, โ, < ) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )))) | |
10 | 9 | imbi1d 341 | . . 3 โข (inf(๐ผ, โ, < ) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)))) |
11 | orc 864 | . . . . 5 โข ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
12 | 11 | expcom 413 | . . . 4 โข (๐ผ = โ โ (๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
13 | 12 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐บ โ ๐ โง ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
14 | ssrab2 4072 | . . . . . . 7 โข {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } โ โ | |
15 | nnuz 12866 | . . . . . . . 8 โข โ = (โคโฅโ1) | |
16 | 15 | eqcomi 2735 | . . . . . . 7 โข (โคโฅโ1) = โ |
17 | 14, 5, 16 | 3sstr4i 4020 | . . . . . 6 โข ๐ผ โ (โคโฅโ1) |
18 | neqne 2942 | . . . . . . 7 โข (ยฌ ๐ผ = โ โ ๐ผ โ โ ) | |
19 | 18 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ ๐ผ โ โ ) |
20 | infssuzcl 12917 | . . . . . 6 โข ((๐ผ โ (โคโฅโ1) โง ๐ผ โ โ ) โ inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ) | |
21 | 17, 19, 20 | sylancr 586 | . . . . 5 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ) |
22 | eleq1a 2822 | . . . . 5 โข (inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
23 | 21, 22 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ โ ๐ผ)) |
24 | olc 865 | . . . 4 โข (๐ธ โ ๐ผ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
25 | 23, 24 | syl6 35 | . . 3 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
26 | 8, 10, 13, 25 | ifbothda 4561 | . 2 โข (๐บ โ ๐ โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
27 | 6, 26 | mpd 15 | 1 โข (๐บ โ ๐ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โwral 3055 {crab 3426 โ wss 3943 โ c0 4317 ifcif 4523 โcfv 6536 (class class class)co 7404 infcinf 9435 โcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 < clt 11249 โcn 12213 โคโฅcuz 12823 Basecbs 17151 0gc0g 17392 .gcmg 18993 gExcgex 19443 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-sup 9436 df-inf 9437 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-gex 19447 |
This theorem is referenced by: gexcl 19498 gexid 19499 gexdvds 19502 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |