Theorem gexlem1 19539

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gexval.4	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
gexlem1	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem gexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gexval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		gexval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexval.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		gexval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	gexval 19538	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2739	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = 0 ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 340	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2739	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 340	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
11		orc 865	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
12	11	expcom 412	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4075	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12901	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 4023	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2944	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2823	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
24		olc 866	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4568	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∀wral 3057  {crab 3428   ⊆ wss 3947  ∅c0 4324  ifcif 4530  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  infcinf 9470  ℝcr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   < clt 11284  ℕcn 12248  ℤ_≥cuz 12858  Basecbs 17185  0_gc0g 17426  ._gcmg 19028  gExcgex 19485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-gex 19489

This theorem is referenced by:  gexcl  19540  gexid  19541  gexdvds  19544