MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexlem1 19497
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
gexval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
gexval.4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexlem1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem gexlem1
StepHypRef Expression
1 gexval.1 . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 gexval.2 . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 gexval.3 . . 3 0 = (0gโ€˜๐บ)
4 gexval.4 . . 3 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
5 gexval.i . . 3 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
61, 2, 3, 4, 5gexval 19496 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
7 eqeq2 2738 . . . 4 (0 = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ (๐ธ = 0 โ†” ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))))
87imbi1d 341 . . 3 (0 = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)) โ†” (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))))
9 eqeq2 2738 . . . 4 (inf(๐ผ, โ„, < ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†” ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))))
109imbi1d 341 . . 3 (inf(๐ผ, โ„, < ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)) โ†” (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))))
11 orc 864 . . . . 5 ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
1211expcom 413 . . . 4 (๐ผ = โˆ… โ†’ (๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
1312adantl 481 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
14 ssrab2 4072 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โІ โ„•
15 nnuz 12866 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1615eqcomi 2735 . . . . . . 7 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = โ„•
1714, 5, 163sstr4i 4020 . . . . . 6 ๐ผ โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
18 neqne 2942 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ผ = โˆ… โ†’ ๐ผ โ‰  โˆ…)
1918adantl 481 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ ๐ผ โ‰  โˆ…)
20 infssuzcl 12917 . . . . . 6 ((๐ผ โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ผ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ)
2117, 19, 20sylancr 586 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ)
22 eleq1a 2822 . . . . 5 (inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
24 olc 865 . . . 4 (๐ธ โˆˆ ๐ผ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
2523, 24syl6 35 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
268, 10, 13, 25ifbothda 4561 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
276, 26mpd 15 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  {crab 3426   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  ifcif 4523  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  infcinf 9435  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249  โ„•cn 12213  โ„คโ‰ฅcuz 12823  Basecbs 17151  0gc0g 17392  .gcmg 18993  gExcgex 19443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-gex 19447
This theorem is referenced by:  gexcl  19498  gexid  19499  gexdvds  19502
  Copyright terms: Public domain W3C validator