![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gexlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
gexval.1 | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
gexval.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
gexval.3 | โข 0 = (0gโ๐บ) |
gexval.4 | โข ๐ธ = (gExโ๐บ) |
gexval.i | โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } |
Ref | Expression |
---|---|
gexlem1 | โข (๐บ โ ๐ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gexval.1 | . . 3 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
2 | gexval.2 | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | gexval.3 | . . 3 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
4 | gexval.4 | . . 3 โข ๐ธ = (gExโ๐บ) | |
5 | gexval.i | . . 3 โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | gexval 19360 | . 2 โข (๐บ โ ๐ โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
7 | eqeq2 2748 | . . . 4 โข (0 = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ (๐ธ = 0 โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )))) | |
8 | 7 | imbi1d 341 | . . 3 โข (0 = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)))) |
9 | eqeq2 2748 | . . . 4 โข (inf(๐ผ, โ, < ) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )))) | |
10 | 9 | imbi1d 341 | . . 3 โข (inf(๐ผ, โ, < ) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)))) |
11 | orc 865 | . . . . 5 โข ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
12 | 11 | expcom 414 | . . . 4 โข (๐ผ = โ โ (๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
13 | 12 | adantl 482 | . . 3 โข ((๐บ โ ๐ โง ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
14 | ssrab2 4037 | . . . . . . 7 โข {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } โ โ | |
15 | nnuz 12806 | . . . . . . . 8 โข โ = (โคโฅโ1) | |
16 | 15 | eqcomi 2745 | . . . . . . 7 โข (โคโฅโ1) = โ |
17 | 14, 5, 16 | 3sstr4i 3987 | . . . . . 6 โข ๐ผ โ (โคโฅโ1) |
18 | neqne 2951 | . . . . . . 7 โข (ยฌ ๐ผ = โ โ ๐ผ โ โ ) | |
19 | 18 | adantl 482 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ ๐ผ โ โ ) |
20 | infssuzcl 12857 | . . . . . 6 โข ((๐ผ โ (โคโฅโ1) โง ๐ผ โ โ ) โ inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ) | |
21 | 17, 19, 20 | sylancr 587 | . . . . 5 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ) |
22 | eleq1a 2832 | . . . . 5 โข (inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
23 | 21, 22 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ โ ๐ผ)) |
24 | olc 866 | . . . 4 โข (๐ธ โ ๐ผ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
25 | 23, 24 | syl6 35 | . . 3 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
26 | 8, 10, 13, 25 | ifbothda 4524 | . 2 โข (๐บ โ ๐ โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
27 | 6, 26 | mpd 15 | 1 โข (๐บ โ ๐ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 396 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2943 โwral 3064 {crab 3407 โ wss 3910 โ c0 4282 ifcif 4486 โcfv 6496 (class class class)co 7357 infcinf 9377 โcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 < clt 11189 โcn 12153 โคโฅcuz 12763 Basecbs 17083 0gc0g 17321 .gcmg 18872 gExcgex 19307 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-sup 9378 df-inf 9379 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-nn 12154 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-gex 19311 |
This theorem is referenced by: gexcl 19362 gexid 19363 gexdvds 19366 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |