MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexlem1 19361
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
gexval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
gexval.4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexlem1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem gexlem1
StepHypRef Expression
1 gexval.1 . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 gexval.2 . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 gexval.3 . . 3 0 = (0gโ€˜๐บ)
4 gexval.4 . . 3 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
5 gexval.i . . 3 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
61, 2, 3, 4, 5gexval 19360 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
7 eqeq2 2748 . . . 4 (0 = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ (๐ธ = 0 โ†” ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))))
87imbi1d 341 . . 3 (0 = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)) โ†” (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))))
9 eqeq2 2748 . . . 4 (inf(๐ผ, โ„, < ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†” ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))))
109imbi1d 341 . . 3 (inf(๐ผ, โ„, < ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)) โ†” (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))))
11 orc 865 . . . . 5 ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
1211expcom 414 . . . 4 (๐ผ = โˆ… โ†’ (๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
1312adantl 482 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
14 ssrab2 4037 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โŠ† โ„•
15 nnuz 12806 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1615eqcomi 2745 . . . . . . 7 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = โ„•
1714, 5, 163sstr4i 3987 . . . . . 6 ๐ผ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
18 neqne 2951 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ผ = โˆ… โ†’ ๐ผ โ‰  โˆ…)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ ๐ผ โ‰  โˆ…)
20 infssuzcl 12857 . . . . . 6 ((๐ผ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ผ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ)
2117, 19, 20sylancr 587 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ)
22 eleq1a 2832 . . . . 5 (inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
24 olc 866 . . . 4 (๐ธ โˆˆ ๐ผ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
2523, 24syl6 35 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
268, 10, 13, 25ifbothda 4524 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
276, 26mpd 15 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2943  โˆ€wral 3064  {crab 3407   โŠ† wss 3910  โˆ…c0 4282  ifcif 4486  โ€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  โ„cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  โ„•cn 12153  โ„คโ‰ฅcuz 12763  Basecbs 17083  0gc0g 17321  .gcmg 18872  gExcgex 19307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-gex 19311
This theorem is referenced by:  gexcl  19362  gexid  19363  gexdvds  19366
  Copyright terms: Public domain W3C validator