Theorem gexlem1 19476

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gexval.4	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
gexlem1	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem gexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gexval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		gexval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexval.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		gexval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	gexval 19475	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2741	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = 0 ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2741	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
11		orc 867	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12796	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 3989	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2823	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
24		olc 868	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4517	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  infcinf 9350  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168  ℕcn 12146  ℤ_≥cuz 12753  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  ._gcmg 18964  gExcgex 19422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-gex 19426

This theorem is referenced by:  gexcl  19477  gexid  19478  gexdvds  19481