![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gexlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
gexval.1 | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
gexval.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
gexval.3 | โข 0 = (0gโ๐บ) |
gexval.4 | โข ๐ธ = (gExโ๐บ) |
gexval.i | โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } |
Ref | Expression |
---|---|
gexlem1 | โข (๐บ โ ๐ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gexval.1 | . . 3 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
2 | gexval.2 | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | gexval.3 | . . 3 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
4 | gexval.4 | . . 3 โข ๐ธ = (gExโ๐บ) | |
5 | gexval.i | . . 3 โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | gexval 19440 | . 2 โข (๐บ โ ๐ โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
7 | eqeq2 2744 | . . . 4 โข (0 = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ (๐ธ = 0 โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )))) | |
8 | 7 | imbi1d 341 | . . 3 โข (0 = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)))) |
9 | eqeq2 2744 | . . . 4 โข (inf(๐ผ, โ, < ) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )))) | |
10 | 9 | imbi1d 341 | . . 3 โข (inf(๐ผ, โ, < ) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)))) |
11 | orc 865 | . . . . 5 โข ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
12 | 11 | expcom 414 | . . . 4 โข (๐ผ = โ โ (๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
13 | 12 | adantl 482 | . . 3 โข ((๐บ โ ๐ โง ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = 0 โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
14 | ssrab2 4076 | . . . . . . 7 โข {๐ฆ โ โ โฃ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } โ โ | |
15 | nnuz 12861 | . . . . . . . 8 โข โ = (โคโฅโ1) | |
16 | 15 | eqcomi 2741 | . . . . . . 7 โข (โคโฅโ1) = โ |
17 | 14, 5, 16 | 3sstr4i 4024 | . . . . . 6 โข ๐ผ โ (โคโฅโ1) |
18 | neqne 2948 | . . . . . . 7 โข (ยฌ ๐ผ = โ โ ๐ผ โ โ ) | |
19 | 18 | adantl 482 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ ๐ผ โ โ ) |
20 | infssuzcl 12912 | . . . . . 6 โข ((๐ผ โ (โคโฅโ1) โง ๐ผ โ โ ) โ inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ) | |
21 | 17, 19, 20 | sylancr 587 | . . . . 5 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ) |
22 | eleq1a 2828 | . . . . 5 โข (inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ผ โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
23 | 21, 22 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ๐ธ โ ๐ผ)) |
24 | olc 866 | . . . 4 โข (๐ธ โ ๐ผ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) | |
25 | 23, 24 | syl6 35 | . . 3 โข ((๐บ โ ๐ โง ยฌ ๐ผ = โ ) โ (๐ธ = inf(๐ผ, โ, < ) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
26 | 8, 10, 13, 25 | ifbothda 4565 | . 2 โข (๐บ โ ๐ โ (๐ธ = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ))) |
27 | 6, 26 | mpd 15 | 1 โข (๐บ โ ๐ โ ((๐ธ = 0 โง ๐ผ = โ ) โจ ๐ธ โ ๐ผ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 396 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 โwral 3061 {crab 3432 โ wss 3947 โ c0 4321 ifcif 4527 โcfv 6540 (class class class)co 7405 infcinf 9432 โcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 < clt 11244 โcn 12208 โคโฅcuz 12818 Basecbs 17140 0gc0g 17381 .gcmg 18944 gExcgex 19387 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-gex 19391 |
This theorem is referenced by: gexcl 19442 gexid 19443 gexdvds 19446 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |