MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexlem1 18477
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexval.2 · = (.g𝐺)
gexval.3 0 = (0g𝐺)
gexval.4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexval.i 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexlem1 (𝐺𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem gexlem1
StepHypRef Expression
1 gexval.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gexval.2 . . 3 · = (.g𝐺)
3 gexval.3 . . 3 0 = (0g𝐺)
4 gexval.4 . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 gexval.i . . 3 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
61, 2, 3, 4, 5gexval 18476 . 2 (𝐺𝑉𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7 eqeq2 2791 . . . 4 (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = 0 ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
87imbi1d 334 . . 3 (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼))))
9 eqeq2 2791 . . . 4 (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
109imbi1d 334 . . 3 (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼))))
11 orc 854 . . . . 5 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼))
1211expcom 406 . . . 4 (𝐼 = ∅ → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼)))
1312adantl 474 . . 3 ((𝐺𝑉𝐼 = ∅) → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼)))
14 ssrab2 3948 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
15 nnuz 12101 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1615eqcomi 2789 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = ℕ
1714, 5, 163sstr4i 3902 . . . . . 6 𝐼 ⊆ (ℤ‘1)
18 neqne 2977 . . . . . . 7 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
1918adantl 474 . . . . . 6 ((𝐺𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20 infssuzcl 12152 . . . . . 6 ((𝐼 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
2117, 19, 20sylancr 579 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22 eleq1a 2863 . . . . 5 (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸𝐼))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸𝐼))
24 olc 855 . . . 4 (𝐸𝐼 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼))
2523, 24syl6 35 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼)))
268, 10, 13, 25ifbothda 4390 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼)))
276, 26mpd 15 1 (𝐺𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2969  wral 3090  {crab 3094  wss 3831  c0 4181  ifcif 4353  cfv 6193  (class class class)co 6982  infcinf 8706  cr 10340  0cc0 10341  1c1 10342   < clt 10480  cn 11445  cuz 12064  Basecbs 16345  0gc0g 16575  .gcmg 18023  gExcgex 18427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-sup 8707  df-inf 8708  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-gex 18431
This theorem is referenced by:  gexcl  18478  gexid  18479  gexdvds  18482
  Copyright terms: Public domain W3C validator