MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexlem1 19441
Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
gexval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
gexval.4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
Assertion
Ref Expression
gexlem1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem gexlem1
StepHypRef Expression
1 gexval.1 . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 gexval.2 . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 gexval.3 . . 3 0 = (0gโ€˜๐บ)
4 gexval.4 . . 3 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
5 gexval.i . . 3 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }
61, 2, 3, 4, 5gexval 19440 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
7 eqeq2 2744 . . . 4 (0 = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ (๐ธ = 0 โ†” ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))))
87imbi1d 341 . . 3 (0 = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)) โ†” (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))))
9 eqeq2 2744 . . . 4 (inf(๐ผ, โ„, < ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†” ๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))))
109imbi1d 341 . . 3 (inf(๐ผ, โ„, < ) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)) โ†” (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))))
11 orc 865 . . . . 5 ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
1211expcom 414 . . . 4 (๐ผ = โˆ… โ†’ (๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
1312adantl 482 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = 0 โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
14 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โŠ† โ„•
15 nnuz 12861 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1615eqcomi 2741 . . . . . . 7 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = โ„•
1714, 5, 163sstr4i 4024 . . . . . 6 ๐ผ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
18 neqne 2948 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ผ = โˆ… โ†’ ๐ผ โ‰  โˆ…)
1918adantl 482 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ ๐ผ โ‰  โˆ…)
20 infssuzcl 12912 . . . . . 6 ((๐ผ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ผ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ)
2117, 19, 20sylancr 587 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ)
22 eleq1a 2828 . . . . 5 (inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
24 olc 866 . . . 4 (๐ธ โˆˆ ๐ผ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
2523, 24syl6 35 . . 3 ((๐บ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ผ = โˆ…) โ†’ (๐ธ = inf(๐ผ, โ„, < ) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
268, 10, 13, 25ifbothda 4565 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ธ = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ)))
276, 26mpd 15 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐ธ = 0 โˆง ๐ผ = โˆ…) โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ผ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  ifcif 4527  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244  โ„•cn 12208  โ„คโ‰ฅcuz 12818  Basecbs 17140  0gc0g 17381  .gcmg 18944  gExcgex 19387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-gex 19391
This theorem is referenced by:  gexcl  19442  gexid  19443  gexdvds  19446
  Copyright terms: Public domain W3C validator