Theorem gexlem1 19552

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gexval.4	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
gexlem1	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem gexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gexval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		gexval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexval.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		gexval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	gexval 19551	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2752	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = 0 ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 342	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2752	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 342	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
11		orc 873	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
12	11	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 4018	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 12825	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 3973	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		neqne 2943	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
20		infssuzcl 12880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
21	17, 19, 20	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22		eleq1a 2835	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
24		olc 874	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
25	23, 24	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
26	8, 10, 13, 25	ifbothda 4500	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
27	6, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  {crab 3392   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ifcif 4461  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  infcinf 9351  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177  ℕcn 12172  ℤ_≥cuz 12786  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  ._gcmg 19041  gExcgex 19498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-gex 19502

This theorem is referenced by:  gexcl  19553  gexid  19554  gexdvds  19557