Theorem h1did 29328

Description: A generating vector belongs to the 1-dimensional subspace it generates. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h1did	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))

Proof of Theorem h1did

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
2		ococss 29070	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
4		snssg 4717	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴}))))
5	3, 4	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  {csn 4567  ‘cfv 6355   ℋchba 28696  ⊥cort 28707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hv0cl 28780  ax-hfvmul 28782  ax-hvmul0 28787  ax-hfi 28856  ax-his1 28859  ax-his2 28860  ax-his3 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sh 28984  df-oc 29029

This theorem is referenced by:  h1dn0  29329  h1de2bi  29331  h1de2ctlem  29332  spansnid  29340