HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h1did Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h1did 30535
Description: A generating vector belongs to the 1-dimensional subspace it generates. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
h1did (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))

Proof of Theorem h1did
StepHypRef Expression
1 snssi 4773 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
2 ococss 30277 . . 3 ({𝐴} ⊆ ℋ → {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
4 snssg 4749 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴}))))
53, 4mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wss 3915  {csn 4591  cfv 6501  chba 29903  cort 29914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sh 30191  df-oc 30236
This theorem is referenced by:  h1dn0  30536  h1de2bi  30538  h1de2ctlem  30539  spansnid  30547
  Copyright terms: Public domain W3C validator