Theorem h1did 32033

Description: A generating vector belongs to the 1-dimensional subspace it generates. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h1did	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))

Proof of Theorem h1did

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
2		ococss 31775	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
4		snssg 4744	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ {𝐴} ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴}))))
5	3, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533   ℋchba 31401  ⊥cort 31412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hv0cl 31485  ax-hfvmul 31487  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sh 31689  df-oc 31734

This theorem is used by:  h1dn0  32034  h1de2bi  32036  h1de2ctlem  32037  spansnid  32045