Theorem h1dn0 29893

Description: A nonzero vector generates a (nonzero) 1-dimensional subspace. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h1dn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ≠ 0ℋ)

Proof of Theorem h1dn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h1did 29892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
2		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘(⊥‘{𝐴})) = 0ℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ 𝐴 ∈ 0ℋ))
3	1, 2	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((⊥‘(⊥‘{𝐴})) = 0ℋ → 𝐴 ∈ 0ℋ))
4		elch0 29595	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℎ)
5	3, 4	syl6ib 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((⊥‘(⊥‘{𝐴})) = 0ℋ → 𝐴 = 0ℎ))
6	5	necon3d 2965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ → (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ≠ 0ℋ))
7	6	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ≠ 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  {csn 4566  ‘cfv 6430   ℋchba 29260  0_ℎc0v 29265  ⊥cort 29271  0_ℋc0h 29276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-hilex 29340  ax-hfvadd 29341  ax-hv0cl 29344  ax-hfvmul 29346  ax-hvmul0 29351  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his2 29424  ax-his3 29425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-2 12019  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sh 29548  df-oc 29593  df-ch0 29594

This theorem is referenced by:  h1da  30690  atom1d  30694