Theorem hhnv 31184

Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31179	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30566	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31019	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6747	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30540	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		hilid 31180	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
8	7	eqcomi 2746	. 2 ⊢ 0ℎ = (GId‘ +ℎ )
9		hilvc 31181	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD
10		normf 31142	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
11		norm-i 31148	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
12	11	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0ℎ)
13		norm-iii 31159	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑦 ·ℎ 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
14		norm-ii 31157	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) + (normℎ‘𝑦)))
15		hhnv.1	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16	6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15	isnvi 30632	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   × cxp 5683  ‘cfv 6561  0cc0 11155  GrpOpcgr 30508  GIdcgi 30509  AbelOpcablo 30563  NrmCVeccnv 30603   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940  norm_ℎcno 30942  0_ℎc0v 30943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990

This theorem is referenced by:  hhva  31185  hh0v  31187  hhsm  31188  hhvs  31189  hhnm  31190  hhims  31191  hhmet  31193  hhmetdval  31195  hhip  31196  hhph  31197  hlimadd  31212  hhcau  31217  hhlm  31218  hhhl  31223  hhssabloilem  31280  hhsst  31285  hhshsslem1  31286  hhshsslem2  31287  hhsssh  31288  hhsssh2  31289  hhssvs  31291  occllem  31322  nmopsetretHIL  31883  hhlnoi  31919  hhnmoi  31920  hhbloi  31921  hh0oi  31922  nmopub2tHIL  31929  nmlnop0iHIL  32015  hmopidmchi  32170