Theorem hhnv 31368

Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31363	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30750	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31203	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6703	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30724	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		hilid 31364	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
8	7	eqcomi 2771	. 2 ⊢ 0ℎ = (GId‘ +ℎ )
9		hilvc 31365	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD
10		normf 31326	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
11		norm-i 31332	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
12	11	biimpa 480	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0ℎ)
13		norm-iii 31343	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑦 ·ℎ 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
14		norm-ii 31341	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) + (normℎ‘𝑦)))
15		hhnv.1	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16	6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15	isnvi 30816	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   × cxp 5645  ‘cfv 6521  0cc0 11073  GrpOpcgr 30692  GIdcgi 30693  AbelOpcablo 30747  NrmCVeccnv 30787   ℋchba 31122   +_ℎ cva 31123   ·_ℎ csm 31124  norm_ℎcno 31126  0_ℎc0v 31127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-hilex 31202  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hvass 31205  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr1 31211  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287  ax-his4 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-hnorm 31171  df-hvsub 31174

This theorem is referenced by:  hhva  31369  hh0v  31371  hhsm  31372  hhvs  31373  hhnm  31374  hhims  31375  hhmet  31377  hhmetdval  31379  hhip  31380  hhph  31381  hlimadd  31396  hhcau  31401  hhlm  31402  hhhl  31407  hhssabloilem  31464  hhsst  31469  hhshsslem1  31470  hhshsslem2  31471  hhsssh  31472  hhsssh2  31473  hhssvs  31475  occllem  31506  nmopsetretHIL  32067  hhlnoi  32103  hhnmoi  32104  hhbloi  32105  hh0oi  32106  nmopub2tHIL  32113  nmlnop0iHIL  32199  hmopidmchi  32354