Theorem hhnv 28611

Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 28606	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 27991	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 28446	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6303	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 27965	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		hilid 28607	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
8	7	eqcomi 2787	. 2 ⊢ 0ℎ = (GId‘ +ℎ )
9		hilvc 28608	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD
10		normf 28569	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
11		norm-i 28575	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
12	11	biimpa 470	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0ℎ)
13		norm-iii 28586	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑦 ·ℎ 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
14		norm-ii 28584	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) + (normℎ‘𝑦)))
15		hhnv.1	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16	6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15	isnvi 28057	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4404   × cxp 5355  ‘cfv 6137  0cc0 10274  GrpOpcgr 27933  GIdcgi 27934  AbelOpcablo 27988  NrmCVeccnv 28028   ℋchba 28365   +_ℎ cva 28366   ·_ℎ csm 28367  norm_ℎcno 28369  0_ℎc0v 28370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-hilex 28445  ax-hfvadd 28446  ax-hvcom 28447  ax-hvass 28448  ax-hv0cl 28449  ax-hvaddid 28450  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulid 28452  ax-hvmulass 28453  ax-hvdistr1 28454  ax-hvdistr2 28455  ax-hvmul0 28456  ax-hfi 28525  ax-his1 28528  ax-his2 28529  ax-his3 28530  ax-his4 28531

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-grpo 27937  df-gid 27938  df-ablo 27989  df-vc 28003  df-nv 28036  df-hnorm 28414  df-hvsub 28417

This theorem is referenced by:  hhva  28612  hh0v  28614  hhsm  28615  hhvs  28616  hhnm  28617  hhims  28618  hhmet  28620  hhmetdval  28622  hhip  28623  hhph  28624  hlimadd  28639  hhcau  28644  hhlm  28645  hhhl  28650  hhssabloilem  28707  hhsst  28712  hhshsslem1  28713  hhshsslem2  28714  hhsssh  28715  hhsssh2  28716  hhssvs  28718  occllem  28751  nmopsetretHIL  29312  hhlnoi  29348  hhnmoi  29349  hhbloi  29350  hh0oi  29351  nmopub2tHIL  29358  nmlnop0iHIL  29444  hmopidmchi  29599