Theorem hhnv 29814

Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 29809	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 29196	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 29649	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6667	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 29170	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		hilid 29810	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
8	7	eqcomi 2746	. 2 ⊢ 0ℎ = (GId‘ +ℎ )
9		hilvc 29811	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD
10		normf 29772	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
11		norm-i 29778	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
12	11	biimpa 478	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0ℎ)
13		norm-iii 29789	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑦 ·ℎ 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
14		norm-ii 29787	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) + (normℎ‘𝑦)))
15		hhnv.1	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16	6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15	isnvi 29262	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4583   × cxp 5622  ‘cfv 6483  0cc0 10976  GrpOpcgr 29138  GIdcgi 29139  AbelOpcablo 29193  NrmCVeccnv 29233   ℋchba 29568   +_ℎ cva 29569   ·_ℎ csm 29570  norm_ℎcno 29572  0_ℎc0v 29573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-hilex 29648  ax-hfvadd 29649  ax-hvcom 29650  ax-hvass 29651  ax-hv0cl 29652  ax-hvaddid 29653  ax-hfvmul 29654  ax-hvmulid 29655  ax-hvmulass 29656  ax-hvdistr1 29657  ax-hvdistr2 29658  ax-hvmul0 29659  ax-hfi 29728  ax-his1 29731  ax-his2 29732  ax-his3 29733  ax-his4 29734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-sup 9303  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-seq 13827  df-exp 13888  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-grpo 29142  df-gid 29143  df-ablo 29194  df-vc 29208  df-nv 29241  df-hnorm 29617  df-hvsub 29620

This theorem is referenced by:  hhva  29815  hh0v  29817  hhsm  29818  hhvs  29819  hhnm  29820  hhims  29821  hhmet  29823  hhmetdval  29825  hhip  29826  hhph  29827  hlimadd  29842  hhcau  29847  hhlm  29848  hhhl  29853  hhssabloilem  29910  hhsst  29915  hhshsslem1  29916  hhshsslem2  29917  hhsssh  29918  hhsssh2  29919  hhssvs  29921  occllem  29952  nmopsetretHIL  30513  hhlnoi  30549  hhnmoi  30550  hhbloi  30551  hh0oi  30552  nmopub2tHIL  30559  nmlnop0iHIL  30645  hmopidmchi  30800