HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhnv 30700
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhnv π‘ˆ ∈ NrmCVec
Proof of Theorem hhnv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 30695 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
2 ablogrpo 30082 . . . 4 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 +β„Ž ∈ GrpOp
4 ax-hfvadd 30535 . . . 4 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
54fdmi 6729 . . 3 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
63, 5grporn 30056 . 2 β„‹ = ran +β„Ž
7 hilid 30696 . . 3 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = 0β„Ž
87eqcomi 2740 . 2 0β„Ž = (GIdβ€˜ +β„Ž )
9 hilvc 30697 . 2 ⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩ ∈ CVecOLD
10 normf 30658 . 2 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
11 norm-i 30664 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
1211biimpa 476 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ π‘₯ = 0β„Ž)
13 norm-iii 30675 . 2 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
14 norm-ii 30673 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
15 hhnv.1 . 2 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 30148 1 π‘ˆ ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  0cc0 11116  GrpOpcgr 30024  GIdcgi 30025  AbelOpcablo 30079  NrmCVeccnv 30119   β„‹chba 30454   +β„Ž cva 30455   Β·β„Ž csm 30456  normβ„Žcno 30458  0β„Žc0v 30459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-hilex 30534  ax-hfvadd 30535  ax-hvcom 30536  ax-hvass 30537  ax-hv0cl 30538  ax-hvaddid 30539  ax-hfvmul 30540  ax-hvmulid 30541  ax-hvmulass 30542  ax-hvdistr1 30543  ax-hvdistr2 30544  ax-hvmul0 30545  ax-hfi 30614  ax-his1 30617  ax-his2 30618  ax-his3 30619  ax-his4 30620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-grpo 30028  df-gid 30029  df-ablo 30080  df-vc 30094  df-nv 30127  df-hnorm 30503  df-hvsub 30506
This theorem is referenced by:  hhva  30701  hh0v  30703  hhsm  30704  hhvs  30705  hhnm  30706  hhims  30707  hhmet  30709  hhmetdval  30711  hhip  30712  hhph  30713  hlimadd  30728  hhcau  30733  hhlm  30734  hhhl  30739  hhssabloilem  30796  hhsst  30801  hhshsslem1  30802  hhshsslem2  30803  hhsssh  30804  hhsssh2  30805  hhssvs  30807  occllem  30838  nmopsetretHIL  31399  hhlnoi  31435  hhnmoi  31436  hhbloi  31437  hh0oi  31438  nmopub2tHIL  31445  nmlnop0iHIL  31531  hmopidmchi  31686
  Copyright terms: Public domain W3C validator