HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhnv 30406
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhnv π‘ˆ ∈ NrmCVec
Proof of Theorem hhnv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 30401 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
2 ablogrpo 29788 . . . 4 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 +β„Ž ∈ GrpOp
4 ax-hfvadd 30241 . . . 4 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
54fdmi 6727 . . 3 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
63, 5grporn 29762 . 2 β„‹ = ran +β„Ž
7 hilid 30402 . . 3 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = 0β„Ž
87eqcomi 2742 . 2 0β„Ž = (GIdβ€˜ +β„Ž )
9 hilvc 30403 . 2 ⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩ ∈ CVecOLD
10 normf 30364 . 2 normβ„Ž: β„‹βŸΆβ„
11 norm-i 30370 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0β„Ž))
1211biimpa 478 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ π‘₯ = 0β„Ž)
13 norm-iii 30381 . 2 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑦 Β·β„Ž π‘₯)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)))
14 norm-ii 30379 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) + (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
15 hhnv.1 . 2 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 29854 1 π‘ˆ ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6541  0cc0 11107  GrpOpcgr 29730  GIdcgi 29731  AbelOpcablo 29785  NrmCVeccnv 29825   β„‹chba 30160   +β„Ž cva 30161   Β·β„Ž csm 30162  normβ„Žcno 30164  0β„Žc0v 30165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-hnorm 30209  df-hvsub 30212
This theorem is referenced by:  hhva  30407  hh0v  30409  hhsm  30410  hhvs  30411  hhnm  30412  hhims  30413  hhmet  30415  hhmetdval  30417  hhip  30418  hhph  30419  hlimadd  30434  hhcau  30439  hhlm  30440  hhhl  30445  hhssabloilem  30502  hhsst  30507  hhshsslem1  30508  hhshsslem2  30509  hhsssh  30510  hhsssh2  30511  hhssvs  30513  occllem  30544  nmopsetretHIL  31105  hhlnoi  31141  hhnmoi  31142  hhbloi  31143  hh0oi  31144  nmopub2tHIL  31151  nmlnop0iHIL  31237  hmopidmchi  31392
  Copyright terms: Public domain W3C validator