Theorem hhnv 31096

Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhnv	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem hhnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31091	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30478	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 30931	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6657	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30452	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		hilid 31092	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
8	7	eqcomi 2738	. 2 ⊢ 0ℎ = (GId‘ +ℎ )
9		hilvc 31093	. 2 ⊢ ⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩ ∈ CVecOLD
10		normf 31054	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
11		norm-i 31060	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
12	11	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0ℎ)
13		norm-iii 31071	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑦 ·ℎ 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (normℎ‘𝑥)))
14		norm-ii 31069	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ≤ ((normℎ‘𝑥) + (normℎ‘𝑦)))
15		hhnv.1	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16	6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15	isnvi 30544	1 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4579   × cxp 5611  ‘cfv 6476  0cc0 10997  GrpOpcgr 30420  GIdcgi 30421  AbelOpcablo 30475  NrmCVeccnv 30515   ℋchba 30850   +_ℎ cva 30851   ·_ℎ csm 30852  norm_ℎcno 30854  0_ℎc0v 30855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-hilex 30930  ax-hfvadd 30931  ax-hvcom 30932  ax-hvass 30933  ax-hv0cl 30934  ax-hvaddid 30935  ax-hfvmul 30936  ax-hvmulid 30937  ax-hvmulass 30938  ax-hvdistr1 30939  ax-hvdistr2 30940  ax-hvmul0 30941  ax-hfi 31010  ax-his1 31013  ax-his2 31014  ax-his3 31015  ax-his4 31016

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 30424  df-gid 30425  df-ablo 30476  df-vc 30490  df-nv 30523  df-hnorm 30899  df-hvsub 30902

This theorem is referenced by:  hhva  31097  hh0v  31099  hhsm  31100  hhvs  31101  hhnm  31102  hhims  31103  hhmet  31105  hhmetdval  31107  hhip  31108  hhph  31109  hlimadd  31124  hhcau  31129  hhlm  31130  hhhl  31135  hhssabloilem  31192  hhsst  31197  hhshsslem1  31198  hhshsslem2  31199  hhsssh  31200  hhsssh2  31201  hhssvs  31203  occllem  31234  nmopsetretHIL  31795  hhlnoi  31831  hhnmoi  31832  hhbloi  31833  hh0oi  31834  nmopub2tHIL  31841  nmlnop0iHIL  31927  hmopidmchi  32082