Theorem shuni 31371

Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
shuni.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
shuni.3	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
shuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
shuni.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
shuni.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
shuni.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
shuni.8	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
shuni	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shuni.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shuni.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
3		shuni.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
4		shsubcl 31291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
6		shuni.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
7		shel 31282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
8	1, 2, 7	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
9		shuni.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
10		shuni.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		shel 31282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
13		shel 31282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
14	1, 3, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
15		shuni.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
16		shel 31282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
17	9, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℋ)
18		hvaddsub4 31149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
19	8, 12, 14, 17, 18	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
20	6, 19	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
21		shsubcl 31291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
22	9, 15, 10, 21	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
23	20, 22	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐾)
24	5, 23	elind 4140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ (𝐻 ∩ 𝐾))
25		shuni.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
26	24, 25	eleqtrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ)
27		elch0 31325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
28	26, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29		hvsubeq0 31139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
30	8, 14, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
31	28, 30	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
32	20, 28	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
33		hvsubeq0 31139	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
34	17, 12, 33	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
36	35	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
37	31, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888  (class class class)co 7367   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991  0_ℎc0v 30995   −_ℎ cmv 30996   S_ℋ csh 30999  0_ℋc0h 31006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-hvsub 31042  df-sh 31278  df-ch0 31324

This theorem is referenced by:  chocunii  31372  pjhthmo  31373  chscllem3  31710