Theorem shuni 31229

Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
shuni.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
shuni.3	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
shuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
shuni.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
shuni.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
shuni.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
shuni.8	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
shuni	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shuni.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shuni.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
3		shuni.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
4		shsubcl 31149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
6		shuni.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
7		shel 31140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
9		shuni.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
10		shuni.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		shel 31140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
13		shel 31140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
14	1, 3, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
15		shuni.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
16		shel 31140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
17	9, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℋ)
18		hvaddsub4 31007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
19	8, 12, 14, 17, 18	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
20	6, 19	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
21		shsubcl 31149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
22	9, 15, 10, 21	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
23	20, 22	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐾)
24	5, 23	elind 4163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ (𝐻 ∩ 𝐾))
25		shuni.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
26	24, 25	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ)
27		elch0 31183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
28	26, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29		hvsubeq0 30997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
30	8, 14, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
31	28, 30	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
32	20, 28	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
33		hvsubeq0 30997	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
34	17, 12, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
36	35	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
37	31, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913  (class class class)co 7387   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849  0_ℎc0v 30853   −_ℎ cmv 30854   S_ℋ csh 30857  0_ℋc0h 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-hvsub 30900  df-sh 31136  df-ch0 31182

This theorem is referenced by:  chocunii  31230  pjhthmo  31231  chscllem3  31568