HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shuni 29061
Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shuni.1 (𝜑𝐻S )
shuni.2 (𝜑𝐾S )
shuni.3 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
shuni.4 (𝜑𝐴𝐻)
shuni.5 (𝜑𝐵𝐾)
shuni.6 (𝜑𝐶𝐻)
shuni.7 (𝜑𝐷𝐾)
shuni.8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
shuni (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni
StepHypRef Expression
1 shuni.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻S )
2 shuni.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐻)
3 shuni.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐻)
4 shsubcl 28981 . . . . . . 7 ((𝐻S𝐴𝐻𝐶𝐻) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
6 shuni.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
7 shel 28972 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
81, 2, 7syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
9 shuni.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾S )
10 shuni.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐾)
11 shel 28972 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐵𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
129, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
13 shel 28972 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐶𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
141, 3, 13syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
15 shuni.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐾)
16 shel 28972 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐷𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
179, 15, 16syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℋ)
18 hvaddsub4 28839 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
198, 12, 14, 17, 18syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
206, 19mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵))
21 shsubcl 28981 . . . . . . . 8 ((𝐾S𝐷𝐾𝐵𝐾) → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
229, 15, 10, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
2320, 22eqeltrd 2912 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐾)
245, 23elind 4146 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ (𝐻𝐾))
25 shuni.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
2624, 25eleqtrd 2914 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 0)
27 elch0 29015 . . . 4 ((𝐴 𝐶) ∈ 0 ↔ (𝐴 𝐶) = 0)
2826, 27sylib 221 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = 0)
29 hvsubeq0 28829 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
308, 14, 29syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
3128, 30mpbid 235 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
3220, 28eqtr3d 2858 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 𝐵) = 0)
33 hvsubeq0 28829 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3417, 12, 33syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3532, 34mpbid 235 . . 3 (𝜑𝐷 = 𝐵)
3635eqcomd 2827 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐷)
3731, 36jca 515 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3909  (class class class)co 7130  chba 28680   + cva 28681  0c0v 28685   cmv 28686   S csh 28689  0c0h 28696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-hvsub 28732  df-sh 28968  df-ch0 29014
This theorem is referenced by:  chocunii  29062  pjhthmo  29063  chscllem3  29400
  Copyright terms: Public domain W3C validator