Theorem shuni 31884

Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
shuni.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
shuni.3	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
shuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
shuni.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
shuni.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
shuni.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
shuni.8	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
shuni	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shuni.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shuni.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
3		shuni.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
4		shsubcl 31804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
6		shuni.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
7		shel 31795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
9		shuni.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
10		shuni.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		shel 31795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
13		shel 31795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
14	1, 3, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
15		shuni.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
16		shel 31795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
17	9, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℋ)
18		hvaddsub4 31662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
19	8, 12, 14, 17, 18	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
20	6, 19	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
21		shsubcl 31804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
22	9, 15, 10, 21	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
23	20, 22	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐾)
24	5, 23	elind 4146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ (𝐻 ∩ 𝐾))
25		shuni.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
26	24, 25	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ)
27		elch0 31838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
28	26, 27	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29		hvsubeq0 31652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
30	8, 14, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
31	28, 30	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
32	20, 28	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
33		hvsubeq0 31652	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
34	17, 12, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
36	35	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
37	31, 36	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  (class class class)co 7412   ℋchba 31503   +_ℎ cva 31504  0_ℎc0v 31508   −_ℎ cmv 31509   S_ℋ csh 31512  0_ℋc0h 31519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-hvsub 31555  df-sh 31791  df-ch0 31837

This theorem is used by:  chocunii  31885  pjhthmo  31886  chscllem3  32223