HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shuni 28748
Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shuni.1 (𝜑𝐻S )
shuni.2 (𝜑𝐾S )
shuni.3 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
shuni.4 (𝜑𝐴𝐻)
shuni.5 (𝜑𝐵𝐾)
shuni.6 (𝜑𝐶𝐻)
shuni.7 (𝜑𝐷𝐾)
shuni.8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
shuni (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni
StepHypRef Expression
1 shuni.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻S )
2 shuni.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐻)
3 shuni.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐻)
4 shsubcl 28666 . . . . . . 7 ((𝐻S𝐴𝐻𝐶𝐻) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
51, 2, 3, 4syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
6 shuni.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
7 shel 28657 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
81, 2, 7syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
9 shuni.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾S )
10 shuni.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐾)
11 shel 28657 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐵𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
129, 10, 11syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
13 shel 28657 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐶𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
141, 3, 13syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
15 shuni.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐾)
16 shel 28657 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐷𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
179, 15, 16syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℋ)
18 hvaddsub4 28524 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
198, 12, 14, 17, 18syl22anc 829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
206, 19mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵))
21 shsubcl 28666 . . . . . . . 8 ((𝐾S𝐷𝐾𝐵𝐾) → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
229, 15, 10, 21syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
2320, 22eqeltrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐾)
245, 23elind 4021 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ (𝐻𝐾))
25 shuni.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
2624, 25eleqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 0)
27 elch0 28700 . . . 4 ((𝐴 𝐶) ∈ 0 ↔ (𝐴 𝐶) = 0)
2826, 27sylib 210 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = 0)
29 hvsubeq0 28514 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
308, 14, 29syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
3128, 30mpbid 224 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
3220, 28eqtr3d 2816 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 𝐵) = 0)
33 hvsubeq0 28514 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3417, 12, 33syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3532, 34mpbid 224 . . 3 (𝜑𝐷 = 𝐵)
3635eqcomd 2784 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐷)
3731, 36jca 507 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791  (class class class)co 6924  chba 28365   + cva 28366  0c0v 28370   cmv 28371   S csh 28374  0c0h 28381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-hilex 28445  ax-hfvadd 28446  ax-hvcom 28447  ax-hvass 28448  ax-hv0cl 28449  ax-hvaddid 28450  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulid 28452  ax-hvmulass 28453  ax-hvdistr1 28454  ax-hvdistr2 28455  ax-hvmul0 28456
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-hvsub 28417  df-sh 28653  df-ch0 28699
This theorem is referenced by:  chocunii  28749  pjhthmo  28750  chscllem3  29087
  Copyright terms: Public domain W3C validator