HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shuni 31329
Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shuni.1 (𝜑𝐻S )
shuni.2 (𝜑𝐾S )
shuni.3 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
shuni.4 (𝜑𝐴𝐻)
shuni.5 (𝜑𝐵𝐾)
shuni.6 (𝜑𝐶𝐻)
shuni.7 (𝜑𝐷𝐾)
shuni.8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
shuni (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni
StepHypRef Expression
1 shuni.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻S )
2 shuni.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐻)
3 shuni.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐻)
4 shsubcl 31249 . . . . . . 7 ((𝐻S𝐴𝐻𝐶𝐻) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
6 shuni.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
7 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
81, 2, 7syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
9 shuni.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾S )
10 shuni.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐾)
11 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐵𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
13 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐶𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
141, 3, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
15 shuni.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐾)
16 shel 31240 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐷𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
179, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℋ)
18 hvaddsub4 31107 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
198, 12, 14, 17, 18syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
206, 19mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵))
21 shsubcl 31249 . . . . . . . 8 ((𝐾S𝐷𝐾𝐵𝐾) → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
229, 15, 10, 21syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
2320, 22eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐾)
245, 23elind 4210 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ (𝐻𝐾))
25 shuni.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
2624, 25eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 0)
27 elch0 31283 . . . 4 ((𝐴 𝐶) ∈ 0 ↔ (𝐴 𝐶) = 0)
2826, 27sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = 0)
29 hvsubeq0 31097 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
308, 14, 29syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
3128, 30mpbid 232 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
3220, 28eqtr3d 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 𝐵) = 0)
33 hvsubeq0 31097 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3417, 12, 33syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3532, 34mpbid 232 . . 3 (𝜑𝐷 = 𝐵)
3635eqcomd 2741 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐷)
3731, 36jca 511 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  (class class class)co 7431  chba 30948   + cva 30949  0c0v 30953   cmv 30954   S csh 30957  0c0h 30964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-ch0 31282
This theorem is referenced by:  chocunii  31330  pjhthmo  31331  chscllem3  31668
  Copyright terms: Public domain W3C validator