Theorem shuni 29641

Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
shuni.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
shuni.3	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
shuni.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
shuni.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
shuni.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
shuni.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
shuni.8	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
shuni	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shuni.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shuni.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐻)
3		shuni.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
4		shsubcl 29561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
6		shuni.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
7		shel 29552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
9		shuni.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Sℋ )
10		shuni.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		shel 29552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
12	9, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
13		shel 29552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
14	1, 3, 13	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
15		shuni.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
16		shel 29552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
17	9, 15, 16	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℋ)
18		hvaddsub4 29419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
19	8, 12, 14, 17, 18	syl22anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
20	6, 19	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
21		shsubcl 29561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Sℋ ∧ 𝐷 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
22	9, 15, 10, 21	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐾)
23	20, 22	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 𝐾)
24	5, 23	elind 4132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ (𝐻 ∩ 𝐾))
25		shuni.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐾) = 0ℋ)
26	24, 25	eleqtrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ)
27		elch0 29595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ 0ℋ ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
28	26, 27	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29		hvsubeq0 29409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
30	8, 14, 29	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐶))
31	28, 30	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
32	20, 28	eqtr3d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
33		hvsubeq0 29409	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
34	17, 12, 33	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐷 = 𝐵))
35	32, 34	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
36	35	eqcomd 2745	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
37	31, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3890  (class class class)co 7268   ℋchba 29260   +_ℎ cva 29261  0_ℎc0v 29265   −_ℎ cmv 29266   S_ℋ csh 29269  0_ℋc0h 29276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-hilex 29340  ax-hfvadd 29341  ax-hvcom 29342  ax-hvass 29343  ax-hv0cl 29344  ax-hvaddid 29345  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvmulass 29348  ax-hvdistr1 29349  ax-hvdistr2 29350  ax-hvmul0 29351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-hvsub 29312  df-sh 29548  df-ch0 29594

This theorem is referenced by:  chocunii  29642  pjhthmo  29643  chscllem3  29980