HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem riesz4i 31788
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Distinct variable group:   𝑀,𝑣,𝑇
Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 31787 . 2 βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
4 r19.26 3103 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
5 oveq12 7411 . . . . . . . 8 (((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
71lnfnfi 31766 . . . . . . . . . 10 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
87ffvelcdmi 7076 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
98subidd 11557 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
116, 10eqtr3d 2766 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
1211ralimiaa 3074 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
134, 12sylbir 234 . . . 4 ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
14 hvsubcl 30742 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
15 oveq1 7409 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀))
16 oveq1 7409 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒))
1715, 16oveq12d 7420 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
1817eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
1918rspcv 3600 . . . . . 6 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
21 normcl 30850 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ ℝ)
2221recnd 11240 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚)
23 sqeq0 14083 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
25 norm-i 30854 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
28 normsq 30859 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
30 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
31 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
32 his2sub2 30818 . . . . . . . . 9 (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3429, 33eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3534eqeq1d 2726 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
36 hvsubeq0 30793 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž ↔ 𝑀 = 𝑒))
3727, 35, 363bitr3d 309 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑒))
3820, 37sylibd 238 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ 𝑀 = 𝑒))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒))
4039rgen2 3189 . 2 βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)
41 oveq2 7410 . . . . 5 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = (𝑣 Β·ih 𝑒))
4241eqeq2d 2735 . . . 4 (𝑀 = 𝑒 β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4342ralbidv 3169 . . 3 (𝑀 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4443reu4 3720 . 2 (βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)))
453, 40, 44mpbir2an 708 1 βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  βˆƒ!wreu 3366  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107   βˆ’ cmin 11442  2c2 12265  β†‘cexp 14025   β„‹chba 30644   Β·ih csp 30647  normβ„Žcno 30648  0β„Žc0v 30649   βˆ’β„Ž cmv 30650  ContFnccnfn 30678  LinFnclf 30679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hvcom 30726  ax-hvass 30727  ax-hv0cl 30728  ax-hvaddid 30729  ax-hfvmul 30730  ax-hvmulid 30731  ax-hvmulass 30732  ax-hvdistr1 30733  ax-hvdistr2 30734  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809  ax-his4 30810  ax-hcompl 30927
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-lm 23057  df-haus 23143  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cfil 25107  df-cau 25108  df-cmet 25109  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-ims 30326  df-dip 30426  df-ssp 30447  df-ph 30538  df-cbn 30588  df-hnorm 30693  df-hba 30694  df-hvsub 30696  df-hlim 30697  df-hcau 30698  df-sh 30932  df-ch 30946  df-oc 30977  df-ch0 30978  df-nlfn 31571  df-cnfn 31572  df-lnfn 31573
This theorem is referenced by:  riesz4  31789
  Copyright terms: Public domain W3C validator