Theorem riesz4i 32156

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4i	⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nlelch.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
3	1, 2	riesz3i 32155	. 2 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4		r19.26 3101	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5		oveq12 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
6	5	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
7	1	lnfnfi 32134	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
8	7	ffvelcdmi 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑣) ∈ ℂ)
9	8	subidd 11488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
11	6, 10	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
12	11	ralimiaa 3077	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
13	4, 12	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14		hvsubcl 31110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ)
15		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤))
16		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢))
17	15, 16	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
18	17	eqeq1d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
19	18	rspcv 3558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21		normcl 31218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ)
23		sqeq0 14077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
25		norm-i 31222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
26	24, 25	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
27	14, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
28		normsq 31227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
29	14, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
30		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32		his2sub2 31186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
33	14, 30, 31, 32	syl3anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
34	29, 33	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
35	34	eqeq1d 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36		hvsubeq0 31161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ ↔ 𝑤 = 𝑢))
37	27, 35, 36	3bitr3d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
38	20, 37	sylibd 241	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
39	13, 38	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
40	39	rgen2 3181	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
42	41	eqeq2d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
43	42	ralbidv 3164	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
44	43	reu4 3674	. 2 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
45	3, 40, 44	mpbir2an 718	1 ⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3344  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033   − cmin 11372  2c2 12231  ↑cexp 14018   ℋchba 31012   ·_ih csp 31015  norm_ℎcno 31016  0_ℎc0v 31017   −_ℎ cmv 31018  ContFnccnfn 31046  LinFnclf 31047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31092  ax-hfvadd 31093  ax-hvcom 31094  ax-hvass 31095  ax-hv0cl 31096  ax-hvaddid 31097  ax-hfvmul 31098  ax-hvmulid 31099  ax-hvmulass 31100  ax-hvdistr1 31101  ax-hvdistr2 31102  ax-hvmul0 31103  ax-hfi 31172  ax-his1 31175  ax-his2 31176  ax-his3 31177  ax-his4 31178  ax-hcompl 31295

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-lm 23216  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cfil 25244  df-cau 25245  df-cmet 25246  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-gdiv 30589  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-vs 30692  df-nmcv 30693  df-ims 30694  df-dip 30794  df-ssp 30815  df-ph 30906  df-cbn 30956  df-hnorm 31061  df-hba 31062  df-hvsub 31064  df-hlim 31065  df-hcau 31066  df-sh 31300  df-ch 31314  df-oc 31345  df-ch0 31346  df-nlfn 31939  df-cnfn 31940  df-lnfn 31941

This theorem is referenced by:  riesz4  32157