Theorem riesz4i 31584

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4i	⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nlelch.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
3	1, 2	riesz3i 31583	. 2 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4		r19.26 3110	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5		oveq12 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
7	1	lnfnfi 31562	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
8	7	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑣) ∈ ℂ)
9	8	subidd 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
11	6, 10	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
12	11	ralimiaa 3081	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
13	4, 12	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14		hvsubcl 30538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ)
15		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤))
16		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢))
17	15, 16	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
18	17	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
19	18	rspcv 3608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21		normcl 30646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ)
23		sqeq0 14090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
25		norm-i 30650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
26	24, 25	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
27	14, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
28		normsq 30655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
29	14, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
30		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32		his2sub2 30614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
33	14, 30, 31, 32	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
34	29, 33	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
35	34	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36		hvsubeq0 30589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ ↔ 𝑤 = 𝑢))
37	27, 35, 36	3bitr3d 309	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
38	20, 37	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
39	13, 38	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
40	39	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
42	41	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
43	42	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
44	43	reu4 3727	. 2 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
45	3, 40, 44	mpbir2an 708	1 ⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3373  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114   − cmin 11449  2c2 12272  ↑cexp 14032   ℋchba 30440   ·_ih csp 30443  norm_ℎcno 30444  0_ℎc0v 30445   −_ℎ cmv 30446  ContFnccnfn 30474  LinFnclf 30475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-oc 30773  df-ch0 30774  df-nlfn 31367  df-cnfn 31368  df-lnfn 31369

This theorem is referenced by:  riesz4  31585