Theorem riesz4i 32092

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4i	⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nlelch.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
3	1, 2	riesz3i 32091	. 2 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4		r19.26 3109	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5		oveq12 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
7	1	lnfnfi 32070	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
8	7	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑣) ∈ ℂ)
9	8	subidd 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
11	6, 10	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
12	11	ralimiaa 3080	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
13	4, 12	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14		hvsubcl 31046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ)
15		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤))
16		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢))
17	15, 16	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
18	17	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
19	18	rspcv 3618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21		normcl 31154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ)
23		sqeq0 14157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
25		norm-i 31158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
26	24, 25	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
27	14, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
28		normsq 31163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
29	14, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
30		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32		his2sub2 31122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
33	14, 30, 31, 32	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
34	29, 33	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
35	34	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36		hvsubeq0 31097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ ↔ 𝑤 = 𝑢))
37	27, 35, 36	3bitr3d 309	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
38	20, 37	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
39	13, 38	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
40	39	rgen2 3197	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
42	41	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
43	42	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
44	43	reu4 3740	. 2 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
45	3, 40, 44	mpbir2an 711	1 ⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3376  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   − cmin 11490  2c2 12319  ↑cexp 14099   ℋchba 30948   ·_ih csp 30951  norm_ℎcno 30952  0_ℎc0v 30953   −_ℎ cmv 30954  ContFnccnfn 30982  LinFnclf 30983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-nlfn 31875  df-cnfn 31876  df-lnfn 31877

This theorem is referenced by:  riesz4  32093