HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz4i 29754
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 29753 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4 r19.26 3175 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5 oveq12 7157 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
71lnfnfi 29732 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6846 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
98subidd 10974 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
116, 10eqtr3d 2863 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
1211ralimiaa 3164 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
134, 12sylbir 236 . . . 4 ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14 hvsubcl 28708 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑢) ∈ ℋ)
15 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤))
16 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢))
1715, 16oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
1817eqeq1d 2828 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
1918rspcv 3622 . . . . . 6 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21 normcl 28816 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℝ)
2221recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ)
23 sqeq0 13476 . . . . . . . . 9 ((norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
25 norm-i 28820 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2624, 25bitrd 280 . . . . . . 7 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
28 normsq 28825 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
30 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32 his2sub2 28784 . . . . . . . . 9 (((𝑤 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3429, 33eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3534eqeq1d 2828 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36 hvsubeq0 28759 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) = 0𝑤 = 𝑢))
3727, 35, 363bitr3d 310 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
3820, 37sylibd 240 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
4039rgen2a 3234 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41 oveq2 7156 . . . . 5 (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
4241eqeq2d 2837 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4342ralbidv 3202 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4443reu4 3726 . 2 (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
453, 40, 44mpbir2an 707 1 ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  ∃!wreu 3145  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526  cmin 10859  2c2 11681  cexp 13419  chba 28610   ·ih csp 28613  normcno 28614  0c0v 28615   cmv 28616  ContFnccnfn 28644  LinFnclf 28645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-nlfn 29537  df-cnfn 29538  df-lnfn 29539
This theorem is referenced by:  riesz4  29755
  Copyright terms: Public domain W3C validator