HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz4i 31584
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 31583 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4 r19.26 3110 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5 oveq12 7421 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
71lnfnfi 31562 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
98subidd 11564 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
116, 10eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
1211ralimiaa 3081 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
134, 12sylbir 234 . . . 4 ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14 hvsubcl 30538 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑢) ∈ ℋ)
15 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤))
16 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢))
1715, 16oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
1817eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
1918rspcv 3608 . . . . . 6 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21 normcl 30646 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℝ)
2221recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ)
23 sqeq0 14090 . . . . . . . . 9 ((norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
25 norm-i 30650 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
28 normsq 30655 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
30 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32 his2sub2 30614 . . . . . . . . 9 (((𝑤 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3429, 33eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3534eqeq1d 2733 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36 hvsubeq0 30589 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) = 0𝑤 = 𝑢))
3727, 35, 363bitr3d 309 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
3820, 37sylibd 238 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
4039rgen2 3196 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
4241eqeq2d 2742 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4342ralbidv 3176 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4443reu4 3727 . 2 (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
453, 40, 44mpbir2an 708 1 ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  ∃!wreu 3373  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11112  0cc0 11114  cmin 11449  2c2 12272  cexp 14032  chba 30440   ·ih csp 30443  normcno 30444  0c0v 30445   cmv 30446  ContFnccnfn 30474  LinFnclf 30475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-oc 30773  df-ch0 30774  df-nlfn 31367  df-cnfn 31368  df-lnfn 31369
This theorem is referenced by:  riesz4  31585
  Copyright terms: Public domain W3C validator