Theorem riesz4i 32153

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4i	⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nlelch.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
3	1, 2	riesz3i 32152	. 2 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4		r19.26 3098	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5		oveq12 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
7	1	lnfnfi 32131	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
8	7	ffvelcdmi 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑣) ∈ ℂ)
9	8	subidd 11488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
11	6, 10	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
12	11	ralimiaa 3074	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
13	4, 12	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14		hvsubcl 31107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ)
15		oveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤))
16		oveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢))
17	15, 16	oveq12d 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
19	18	rspcv 3561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21		normcl 31215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ)
23		sqeq0 14077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
25		norm-i 31219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
26	24, 25	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
27	14, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
28		normsq 31224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
29	14, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
30		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32		his2sub2 31183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
33	14, 30, 31, 32	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
34	29, 33	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
35	34	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36		hvsubeq0 31158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ ↔ 𝑤 = 𝑢))
37	27, 35, 36	3bitr3d 309	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
38	20, 37	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
39	13, 38	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
40	39	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41		oveq2 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
42	41	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
43	42	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
44	43	reu4 3678	. 2 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
45	3, 40, 44	mpbir2an 712	1 ⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033   − cmin 11372  2c2 12231  ↑cexp 14018   ℋchba 31009   ·_ih csp 31012  norm_ℎcno 31013  0_ℎc0v 31014   −_ℎ cmv 31015  ContFnccnfn 31043  LinFnclf 31044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvmulass 31097  ax-hvdistr1 31098  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his2 31173  ax-his3 31174  ax-his4 31175  ax-hcompl 31292

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-lm 23208  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cfil 25236  df-cau 25237  df-cmet 25238  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-gdiv 30586  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-vs 30689  df-nmcv 30690  df-ims 30691  df-dip 30791  df-ssp 30812  df-ph 30903  df-cbn 30953  df-hnorm 31058  df-hba 31059  df-hvsub 31061  df-hlim 31062  df-hcau 31063  df-sh 31297  df-ch 31311  df-oc 31342  df-ch0 31343  df-nlfn 31936  df-cnfn 31937  df-lnfn 31938

This theorem is referenced by:  riesz4  32154