HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz4i 31054
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Distinct variable group:   𝑀,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 31053 . 2 βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
4 r19.26 3111 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
5 oveq12 7370 . . . . . . . 8 (((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
65adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
71lnfnfi 31032 . . . . . . . . . 10 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
87ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
98subidd 11508 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
116, 10eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
1211ralimiaa 3082 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
134, 12sylbir 234 . . . 4 ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
14 hvsubcl 30008 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
15 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀))
16 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒))
1715, 16oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
1817eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
1918rspcv 3579 . . . . . 6 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
21 normcl 30116 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ ℝ)
2221recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚)
23 sqeq0 14034 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
25 norm-i 30120 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
28 normsq 30125 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
30 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
32 his2sub2 30084 . . . . . . . . 9 (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3429, 33eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3534eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
36 hvsubeq0 30059 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž ↔ 𝑀 = 𝑒))
3727, 35, 363bitr3d 309 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑒))
3820, 37sylibd 238 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ 𝑀 = 𝑒))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒))
4039rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)
41 oveq2 7369 . . . . 5 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = (𝑣 Β·ih 𝑒))
4241eqeq2d 2744 . . . 4 (𝑀 = 𝑒 β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4342ralbidv 3171 . . 3 (𝑀 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4443reu4 3693 . 2 (βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)))
453, 40, 44mpbir2an 710 1 βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3350  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059   βˆ’ cmin 11393  2c2 12216  β†‘cexp 13976   β„‹chba 29910   Β·ih csp 29913  normβ„Žcno 29914  0β„Žc0v 29915   βˆ’β„Ž cmv 29916  ContFnccnfn 29944  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076  ax-hcompl 30193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-dip 29692  df-ssp 29713  df-ph 29804  df-cbn 29854  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-hlim 29963  df-hcau 29964  df-sh 30198  df-ch 30212  df-oc 30243  df-ch0 30244  df-nlfn 30837  df-cnfn 30838  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  riesz4  31055
  Copyright terms: Public domain W3C validator