HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem riesz4i 31867
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Distinct variable group:   𝑀,𝑣,𝑇
Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 31866 . 2 βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
4 r19.26 3107 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
5 oveq12 7424 . . . . . . . 8 (((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
71lnfnfi 31845 . . . . . . . . . 10 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
87ffvelcdmi 7088 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
98subidd 11584 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
116, 10eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
1211ralimiaa 3078 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
134, 12sylbir 234 . . . 4 ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
14 hvsubcl 30821 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
15 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀))
16 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒))
1715, 16oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
1817eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
1918rspcv 3604 . . . . . 6 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
21 normcl 30929 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ ℝ)
2221recnd 11267 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚)
23 sqeq0 14111 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
25 norm-i 30933 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
28 normsq 30938 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
30 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
31 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
32 his2sub2 30897 . . . . . . . . 9 (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3429, 33eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3534eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
36 hvsubeq0 30872 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž ↔ 𝑀 = 𝑒))
3727, 35, 363bitr3d 309 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑒))
3820, 37sylibd 238 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ 𝑀 = 𝑒))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒))
4039rgen2 3193 . 2 βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)
41 oveq2 7423 . . . . 5 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = (𝑣 Β·ih 𝑒))
4241eqeq2d 2739 . . . 4 (𝑀 = 𝑒 β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4342ralbidv 3173 . . 3 (𝑀 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4443reu4 3725 . 2 (βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)))
453, 40, 44mpbir2an 710 1 βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  βˆƒ!wreu 3370  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  β„‚cc 11131  0cc0 11133   βˆ’ cmin 11469  2c2 12292  β†‘cexp 14053   β„‹chba 30723   Β·ih csp 30726  normβ„Žcno 30727  0β„Žc0v 30728   βˆ’β„Ž cmv 30729  ContFnccnfn 30757  LinFnclf 30758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213  ax-hilex 30803  ax-hfvadd 30804  ax-hvcom 30805  ax-hvass 30806  ax-hv0cl 30807  ax-hvaddid 30808  ax-hfvmul 30809  ax-hvmulid 30810  ax-hvmulass 30811  ax-hvdistr1 30812  ax-hvdistr2 30813  ax-hvmul0 30814  ax-hfi 30883  ax-his1 30886  ax-his2 30887  ax-his3 30888  ax-his4 30889  ax-hcompl 31006
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-lm 23127  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cfil 25177  df-cau 25178  df-cmet 25179  df-grpo 30297  df-gid 30298  df-ginv 30299  df-gdiv 30300  df-ablo 30349  df-vc 30363  df-nv 30396  df-va 30399  df-ba 30400  df-sm 30401  df-0v 30402  df-vs 30403  df-nmcv 30404  df-ims 30405  df-dip 30505  df-ssp 30526  df-ph 30617  df-cbn 30667  df-hnorm 30772  df-hba 30773  df-hvsub 30775  df-hlim 30776  df-hcau 30777  df-sh 31011  df-ch 31025  df-oc 31056  df-ch0 31057  df-nlfn 31650  df-cnfn 31651  df-lnfn 31652
This theorem is referenced by:  riesz4  31868
  Copyright terms: Public domain W3C validator