HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem riesz4i 31311
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Distinct variable group:   𝑀,𝑣,𝑇
Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 31310 . 2 βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
4 r19.26 3111 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
5 oveq12 7417 . . . . . . . 8 (((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)))
71lnfnfi 31289 . . . . . . . . . 10 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
87ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘£) ∈ β„‚)
98subidd 11558 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘£)) = 0)
116, 10eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ β„‹ ∧ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒))) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
1211ralimiaa 3082 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
134, 12sylbir 234 . . . 4 ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0)
14 hvsubcl 30265 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹)
15 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀))
16 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (𝑣 Β·ih 𝑒) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒))
1715, 16oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
1817eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) β†’ (((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
1918rspcv 3608 . . . . . 6 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
21 normcl 30373 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ ℝ)
2221recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚)
23 sqeq0 14084 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) ∈ β„‚ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0))
25 norm-i 30377 . . . . . . . 8 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2624, 25bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž))
28 normsq 30382 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)))
30 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑀 ∈ β„‹)
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ 𝑒 ∈ β„‹)
32 his2sub2 30341 . . . . . . . . 9 (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih (𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒)) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3429, 33eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)))
3534eqeq1d 2734 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒))↑2) = 0 ↔ (((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0))
36 hvsubeq0 30316 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) = 0β„Ž ↔ 𝑀 = 𝑒))
3727, 35, 363bitr3d 308 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑀) βˆ’ ((𝑀 βˆ’β„Ž 𝑒) Β·ih 𝑒)) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑒))
3820, 37sylibd 238 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ ((𝑣 Β·ih 𝑀) βˆ’ (𝑣 Β·ih 𝑒)) = 0 β†’ 𝑀 = 𝑒))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑒 ∈ β„‹) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒))
4039rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)
41 oveq2 7416 . . . . 5 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑣 Β·ih 𝑀) = (𝑣 Β·ih 𝑒))
4241eqeq2d 2743 . . . 4 (𝑀 = 𝑒 β†’ ((π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4342ralbidv 3177 . . 3 (𝑀 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)))
4443reu4 3727 . 2 (βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ↔ (βˆƒπ‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘’ ∈ β„‹ ((βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀) ∧ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑒)) β†’ 𝑀 = 𝑒)))
453, 40, 44mpbir2an 709 1 βˆƒ!𝑀 ∈ β„‹ βˆ€π‘£ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘£) = (𝑣 Β·ih 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109   βˆ’ cmin 11443  2c2 12266  β†‘cexp 14026   β„‹chba 30167   Β·ih csp 30170  normβ„Žcno 30171  0β„Žc0v 30172   βˆ’β„Ž cmv 30173  ContFnccnfn 30201  LinFnclf 30202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-nlfn 31094  df-cnfn 31095  df-lnfn 31096
This theorem is referenced by:  riesz4  31312
  Copyright terms: Public domain W3C validator