Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz4i 29754
 Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ContFn
31, 2riesz3i 29753 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4 r19.26 3175 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5 oveq12 7157 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
65adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
71lnfnfi 29732 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6846 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
98subidd 10974 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
116, 10eqtr3d 2863 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
1211ralimiaa 3164 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
134, 12sylbir 236 . . . 4 ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14 hvsubcl 28708 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑢) ∈ ℋ)
15 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤))
16 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢))
1715, 16oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
1817eqeq1d 2828 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
1918rspcv 3622 . . . . . 6 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21 normcl 28816 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℝ)
2221recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ)
23 sqeq0 13476 . . . . . . . . 9 ((norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
25 norm-i 28820 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2624, 25bitrd 280 . . . . . . 7 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
28 normsq 28825 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
30 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32 his2sub2 28784 . . . . . . . . 9 (((𝑤 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3429, 33eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3534eqeq1d 2828 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36 hvsubeq0 28759 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) = 0𝑤 = 𝑢))
3727, 35, 363bitr3d 310 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
3820, 37sylibd 240 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
3913, 38syl5 34 . . 3 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
4039rgen2a 3234 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41 oveq2 7156 . . . . 5 (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
4241eqeq2d 2837 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4342ralbidv 3202 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4443reu4 3726 . 2 (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
453, 40, 44mpbir2an 707 1 ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  ∃!wreu 3145  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  ℂcc 10524  0cc0 10526   − cmin 10859  2c2 11681  ↑cexp 13419   ℋchba 28610   ·ih csp 28613  normℎcno 28614  0ℎc0v 28615   −ℎ cmv 28616  ContFnccnfn 28644  LinFnclf 28645 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-nlfn 29537  df-cnfn 29538  df-lnfn 29539 This theorem is referenced by:  riesz4  29755
 Copyright terms: Public domain W3C validator