Theorem riesz4i 30326

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4i	⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlelch.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nlelch.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
3	1, 2	riesz3i 30325	. 2 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4		r19.26 3094	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5		oveq12 7264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
7	1	lnfnfi 30304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
8	7	ffvelrni 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑣) ∈ ℂ)
9	8	subidd 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇‘𝑣) − (𝑇‘𝑣)) = 0)
11	6, 10	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
12	11	ralimiaa 3085	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
13	4, 12	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14		hvsubcl 29280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ)
15		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤))
16		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢))
17	15, 16	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
18	17	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑤 −ℎ 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
19	18	rspcv 3547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
20	14, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21		normcl 29388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ)
23		sqeq0 13768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0))
25		norm-i 29392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
26	24, 25	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
27	14, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ))
28		normsq 29397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
29	14, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)))
30		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32		his2sub2 29356	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
33	14, 30, 31, 32	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih (𝑤 −ℎ 𝑢)) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
34	29, 33	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)))
35	34	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36		hvsubeq0 29331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 −ℎ 𝑢) = 0ℎ ↔ 𝑤 = 𝑢))
37	27, 35, 36	3bitr3d 308	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 −ℎ 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
38	20, 37	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
39	13, 38	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
40	39	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
42	41	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
43	42	ralbidv 3120	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
44	43	reu4 3661	. 2 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
45	3, 40, 44	mpbir2an 707	1 ⊢ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   − cmin 11135  2c2 11958  ↑cexp 13710   ℋchba 29182   ·_ih csp 29185  norm_ℎcno 29186  0_ℎc0v 29187   −_ℎ cmv 29188  ContFnccnfn 29216  LinFnclf 29217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-nlfn 30109  df-cnfn 30110  df-lnfn 30111

This theorem is referenced by:  riesz4  30327