Theorem cdjreui 31374

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdjreu.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdjreu.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 30258	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4	3	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		reeanv 3217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6		eqtr2 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7	1	sheli 30156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	2	sheli 30156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	7, 8	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
10	1	sheli 30156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
11	2	sheli 30156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
12	10, 11	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
13		hvaddsub4 30020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
14	9, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
15	14	an4s 658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
16	15	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
17		shsubcl 30162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
18	2, 17	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))
21	19, 20	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
23		shsubcl 30162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
24	1, 23	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
26	22, 25	jctild 526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
27	26	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
28		elin 3926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
29		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
30	28, 29	bitr3id 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
31	30	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
32	27, 31	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
33		elch0 30196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
34		hvsubeq0 30010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑥 = 𝑧))
35	33, 34	bitrid 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
36	7, 10, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
37	36	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
38	32, 37	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
39	16, 38	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑥 = 𝑧))
40	6, 39	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	rexlimdvva 3205	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
42	5, 41	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
43	42	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
44	4, 43	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
45		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
46	45	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
47	46	rexbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
48		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
49	48	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	49	cbvrexvw 3226	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
51	47, 50	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
52	51	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
53	44, 52	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃!wreu 3351   ∩ cin 3909  (class class class)co 7357   ℋchba 29861   +_ℎ cva 29862  0_ℎc0v 29866   −_ℎ cmv 29867   S_ℋ csh 29870   +_ℋ cph 29873  0_ℋc0h 29877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-grpo 29435  df-ablo 29487  df-hvsub 29913  df-sh 30149  df-ch0 30195  df-shs 30250

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  31377