Theorem cdjreui 30794

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdjreu.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdjreu.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 29678	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4	3	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		reeanv 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6		eqtr2 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7	1	sheli 29576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	2	sheli 29576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	7, 8	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
10	1	sheli 29576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
11	2	sheli 29576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
12	10, 11	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
13		hvaddsub4 29440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
14	9, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
15	14	an4s 657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
16	15	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
17		shsubcl 29582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
18	2, 17	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))
21	19, 20	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
23		shsubcl 29582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
24	1, 23	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
26	22, 25	jctild 526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
27	26	adantll 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
28		elin 3903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
29		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
30	28, 29	bitr3id 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
31	30	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
32	27, 31	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
33		elch0 29616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
34		hvsubeq0 29430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑥 = 𝑧))
35	33, 34	syl5bb 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
36	7, 10, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
37	36	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
38	32, 37	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
39	16, 38	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑥 = 𝑧))
40	6, 39	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	rexlimdvva 3223	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
42	5, 41	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
43	42	ralrimivva 3123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
44	4, 43	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
45		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
46	45	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
47	46	rexbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
48		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
49	48	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	49	cbvrexvw 3384	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
51	47, 50	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
52	51	reu4 3666	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
53	44, 52	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066   ∩ cin 3886  (class class class)co 7275   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282  0_ℎc0v 29286   −_ℎ cmv 29287   S_ℋ csh 29290   +_ℋ cph 29293  0_ℋc0h 29297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-grpo 28855  df-ablo 28907  df-hvsub 29333  df-sh 29569  df-ch0 29615  df-shs 29670

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  30797