HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdjreui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdjreui 31685
Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdjreu.1 𝐴S
cdjreu.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
cdjreui ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem cdjreui
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdjreu.1 . . . . 5 𝐴S
2 cdjreu.2 . . . . 5 𝐵S
31, 2shseli 30569 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦))
43biimpi 215 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦))
5 reeanv 3227 . . . . 5 (∃𝑦𝐵𝑤𝐵 (𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)))
6 eqtr2 2757 . . . . . . 7 ((𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤))
71sheli 30467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
82sheli 30467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
97, 8anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
101sheli 30467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
112sheli 30467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
1210, 11anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
13 hvaddsub4 30331 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦)))
149, 12, 13syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦)))
1514an4s 659 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦)))
1615adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) ↔ (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦)))
17 shsubcl 30473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵S𝑤𝐵𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ 𝐵)
182, 17mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤𝐵𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ 𝐵)
1918ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐵𝑤𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ 𝐵)
20 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → ((𝑥 𝑧) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 𝑦) ∈ 𝐵))
2119, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑤𝐵) → ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵))
23 shsubcl 30473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑥𝐴𝑧𝐴) → (𝑥 𝑧) ∈ 𝐴)
241, 23mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑧𝐴) → (𝑥 𝑧) ∈ 𝐴)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → (𝑥 𝑧) ∈ 𝐴)
2622, 25jctild 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → ((𝑥 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵)))
2726adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → ((𝑥 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵)))
28 elin 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐴𝐵) ↔ ((𝑥 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵))
29 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = 0 → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ 0))
3028, 29bitr3id 285 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = 0 → (((𝑥 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ 0))
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → (((𝑥 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ 0))
3227, 31sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → (𝑥 𝑧) ∈ 0))
33 elch0 30507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑧) ∈ 0 ↔ (𝑥 𝑧) = 0)
34 hvsubeq0 30321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) = 0𝑥 = 𝑧))
3533, 34bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) ∈ 0𝑥 = 𝑧))
367, 10, 35syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑧𝐴) → ((𝑥 𝑧) ∈ 0𝑥 = 𝑧))
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 𝑧) ∈ 0𝑥 = 𝑧))
3832, 37sylibd 238 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
3916, 38sylbid 239 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) → 𝑥 = 𝑧))
406, 39syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) ∧ (𝑦𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
4140rexlimdvva 3212 . . . . 5 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) → (∃𝑦𝐵𝑤𝐵 (𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
425, 41biimtrrid 242 . . . 4 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐴)) → ((∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
4342ralrimivva 3201 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 → ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
444, 43anim12i 614 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
45 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑦))
4645eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 + 𝑦)))
4746rexbidv 3179 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑦)))
48 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤))
4948eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (𝐶 = (𝑧 + 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)))
5049cbvrexvw 3236 . . . 4 (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑦) ↔ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤))
5147, 50bitrdi 287 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)))
5251reu4 3728 . 2 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑤𝐵 𝐶 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
5344, 52sylibr 233 1 ((𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  ∃!wreu 3375  cin 3948  (class class class)co 7409  chba 30172   + cva 30173  0c0v 30177   cmv 30178   S csh 30181   + cph 30184  0c0h 30188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-grpo 29746  df-ablo 29798  df-hvsub 30224  df-sh 30460  df-ch0 30506  df-shs 30561
This theorem is referenced by:  cdj3lem2  31688
  Copyright terms: Public domain W3C validator