Theorem cdjreui 32413

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdjreu.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdjreu.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31297	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4	3	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		reeanv 3213	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6		eqtr2 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7	1	sheli 31195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	2	sheli 31195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	7, 8	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
10	1	sheli 31195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
11	2	sheli 31195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
12	10, 11	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
13		hvaddsub4 31059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
14	9, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
15	14	an4s 660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
16	15	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
17		shsubcl 31201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
18	2, 17	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))
21	19, 20	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
23		shsubcl 31201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
24	1, 23	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
26	22, 25	jctild 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
27	26	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
28		elin 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
29		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
30	28, 29	bitr3id 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
32	27, 31	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
33		elch0 31235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
34		hvsubeq0 31049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑥 = 𝑧))
35	33, 34	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
36	7, 10, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
37	36	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
38	32, 37	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
39	16, 38	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑥 = 𝑧))
40	6, 39	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	rexlimdvva 3198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
42	5, 41	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
43	42	ralrimivva 3187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
44	4, 43	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
45		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
46	45	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
47	46	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
48		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
49	48	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	49	cbvrexvw 3221	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
51	47, 50	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
52	51	reu4 3714	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
53	44, 52	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357   ∩ cin 3925  (class class class)co 7405   ℋchba 30900   +_ℎ cva 30901  0_ℎc0v 30905   −_ℎ cmv 30906   S_ℋ csh 30909   +_ℋ cph 30912  0_ℋc0h 30916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-grpo 30474  df-ablo 30526  df-hvsub 30952  df-sh 31188  df-ch0 31234  df-shs 31289

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  32416