Theorem imasgim 43088

Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgim.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgim.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasgim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
imasgim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		imasgim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		imasgim.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
7		imasgim.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
9		imasgim.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
10		f1ofo 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12	9	f1ocpbl 17571	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g‘𝑅)𝑑))))
13		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	6, 7, 8, 11, 12, 5, 13	imasgrp 19086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
16	6, 7, 11, 5	imasbas 17558	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
17		f1oeq3 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
19	9, 18	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈))
20	7	f1oeq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
22		f1of 6848	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
24	7	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
25	7	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
26	24, 25	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
27	11, 12, 6, 7, 5, 3, 4	imasaddval 17578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
28	27	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
29	28	3expib 1121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
30	26, 29	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
31	30	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 31	isghmd 19255	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
33	1, 2	isgim 19292	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
34	32, 21, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ⟶wf 6558  –onto→wfo 6560  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17485   “_s cimas 17550  Grpcgrp 18963   GrpHom cghm 19242   GrpIso cgim 19287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17487  df-imas 17554  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-ghm 19243  df-gim 19289

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  43089