Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imasgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasgim 38196
Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgim.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasgim.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasgim.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
imasgim (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 eqid 2771 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2771 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5 imasgim.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 imasgim.u . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasgim.v . . . . 5 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
8 eqidd 2772 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
9 imasgim.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 f1ofo 6285 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
129f1ocpbl 16393 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g𝑅)𝑑))))
13 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
146, 7, 8, 11, 12, 5, 13imasgrp 17739 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑈)))
1514simpld 482 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
166, 7, 11, 5imasbas 16380 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
17 f1oeq3 6270 . . . . . . 7 (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈)))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈)))
199, 18mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈))
20 f1oeq2 6269 . . . . . 6 (𝑉 = (Base‘𝑅) → (𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
2219, 21mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
23 f1of 6278 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
257eleq2d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎𝑉𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
267eleq2d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏𝑉𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
2725, 26anbi12d 616 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
2811, 12, 6, 7, 5, 3, 4imasaddval 16400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2928eqcomd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)))
30293expib 1116 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏))))
3127, 30sylbird 250 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏))))
3231imp 393 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)))
331, 2, 3, 4, 5, 15, 24, 32isghmd 17877 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
341, 2isgim 17912 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
3533, 22, 34sylanbrc 572 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wf 6027  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  s cimas 16372  Grpcgrp 17630   GrpHom cghm 17865   GrpIso cgim 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-ghm 17866  df-gim 17909
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  38197
  Copyright terms: Public domain W3C validator