Theorem imasgim 43071

Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgim.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgim.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasgim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
imasgim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		imasgim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		imasgim.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
7		imasgim.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
9		imasgim.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
10		f1ofo 6824	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12	9	f1ocpbl 17537	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g‘𝑅)𝑑))))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	6, 7, 8, 11, 12, 5, 13	imasgrp 19037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
16	6, 7, 11, 5	imasbas 17524	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
17		f1oeq3 6807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
19	9, 18	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈))
20	7	f1oeq2d 6813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
21	19, 20	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
22		f1of 6817	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
24	7	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
25	7	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
26	24, 25	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
27	11, 12, 6, 7, 5, 3, 4	imasaddval 17544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
28	27	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
29	28	3expib 1122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
30	26, 29	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
31	30	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 31	isghmd 19206	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
33	1, 2	isgim 19243	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
34	32, 21, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6526  –onto→wfo 6528  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451   “_s cimas 17516  Grpcgrp 18914   GrpHom cghm 19193   GrpIso cgim 19238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-0g 17453  df-imas 17520  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-ghm 19194  df-gim 19240

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  43072