Theorem imasgim 43718

Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgim.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgim.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasgim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
imasgim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		imasgim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		imasgim.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
7		imasgim.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
9		imasgim.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
10		f1ofo 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12	9	f1ocpbl 17578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g‘𝑅)𝑑))))
13		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	6, 7, 8, 11, 12, 5, 13	imasgrp 19121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
15	14	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
16	6, 7, 11, 5	imasbas 17565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
17		f1oeq3 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
19	9, 18	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈))
20	7	f1oeq2d 6817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
21	19, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
22		f1of 6821	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
24	7	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
25	7	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
26	24, 25	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
27	11, 12, 6, 7, 5, 3, 4	imasaddval 17585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
28	27	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
29	28	3expib 1138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
30	26, 29	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
31	30	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 31	isghmd 19294	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
33	1, 2	isgim 19331	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
34	32, 21, 33	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491   “_s cimas 17557  Grpcgrp 18999   GrpHom cghm 19282   GrpIso cgim 19326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-0g 17493  df-imas 17561  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-ghm 19283  df-gim 19328

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  43719