Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imasgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasgim 39206
Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasgim.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasgim.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasgim.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
imasgim (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2797 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 eqid 2797 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2797 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5 imasgim.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 imasgim.u . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasgim.v . . . . 5 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
8 eqidd 2798 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
9 imasgim.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 f1ofo 6497 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
129f1ocpbl 16631 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g𝑅)𝑑))))
13 eqid 2797 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
146, 7, 8, 11, 12, 5, 13imasgrp 17976 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑈)))
1514simpld 495 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
166, 7, 11, 5imasbas 16618 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
17 f1oeq3 6481 . . . . . . 7 (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈)))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈)))
199, 18mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈))
207f1oeq2d 6486 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝑉1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
2119, 20mpbid 233 . . . 4 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
22 f1of 6490 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
2321, 22syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
247eleq2d 2870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎𝑉𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
257eleq2d 2870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑏𝑉𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
2624, 25anbi12d 630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
2711, 12, 6, 7, 5, 3, 4imasaddval 16638 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2827eqcomd 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)))
29283expib 1115 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏))))
3026, 29sylbird 261 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏))))
3130imp 407 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑈)(𝐹𝑏)))
321, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 31isghmd 18112 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
331, 2isgim 18147 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
3432, 21, 33sylanbrc 583 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wf 6228  ontowfo 6230  1-1-ontowf1o 6231  cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  +gcplusg 16398  0gc0g 16546  s cimas 16610  Grpcgrp 17865   GrpHom cghm 18100   GrpIso cgim 18142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-0g 16548  df-imas 16614  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-ghm 18101  df-gim 18144
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  39207
  Copyright terms: Public domain W3C validator