Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imasghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasghm 33383
Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
imasmhm.1 + = (+g𝑊)
imasmhm.2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasghm.w (𝜑𝑊 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
imasghm (𝜑 → ((𝐹s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹s 𝑊))))
Distinct variable groups:   + ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasghm
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑 → (𝐹s 𝑊) = (𝐹s 𝑊))
2 imasmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑊))
4 imasmhm.1 . . . . 5 + = (+g𝑊)
54a1i 11 . . . 4 (𝜑+ = (+g𝑊))
6 imasmhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
7 fimadmfo 6829 . . . . 5 (𝐹:𝐵𝐶𝐹:𝐵onto→(𝐹𝐵))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵onto→(𝐹𝐵))
9 imasmhm.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
10 imasghm.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
11 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
121, 3, 5, 8, 9, 10, 11imasgrp 19074 . . 3 (𝜑 → ((𝐹s 𝑊) ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g𝑊)) = (0g‘(𝐹s 𝑊))))
1312simpld 494 . 2 (𝜑 → (𝐹s 𝑊) ∈ Grp)
14 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝐹s 𝑊)) = (Base‘(𝐹s 𝑊))
15 eqid 2737 . . 3 (+g‘(𝐹s 𝑊)) = (+g‘(𝐹s 𝑊))
16 fof 6820 . . . . 5 (𝐹:𝐵onto→(𝐹𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(𝐹𝐵))
178, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵⟶(𝐹𝐵))
181, 3, 8, 10imasbas 17557 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (Base‘(𝐹s 𝑊)))
1918feq3d 6723 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(𝐹𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹s 𝑊))))
2017, 19mpbid 232 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹s 𝑊)))
218, 9, 1, 3, 10, 4, 15imasaddval 17577 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝐹s 𝑊))(𝐹𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
22213expb 1121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝐹s 𝑊))(𝐹𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
2322eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g‘(𝐹s 𝑊))(𝐹𝑦)))
242, 14, 4, 15, 10, 13, 20, 23isghmd 19243 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹s 𝑊)))
2513, 24jca 511 1 (𝜑 → ((𝐹s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹s 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cima 5688  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  s cimas 17549  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231
This theorem is referenced by:  imaslmhm  33385
  Copyright terms: Public domain W3C validator