Theorem imasghm 33454

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasghm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
imasghm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasghm

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
4		imasmhm.1	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
6		imasmhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7		fimadmfo 6765	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
9		imasmhm.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
10		imasghm.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
12	1, 3, 5, 8, 9, 10, 11	imasgrp 19003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘(𝐹 “s 𝑊))))
13	12	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp)
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊))
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐹 “s 𝑊)) = (+g‘(𝐹 “s 𝑊))
16		fof 6756	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵))
18	1, 3, 8, 10	imasbas 17447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) = (Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
19	18	feq3d 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(𝐹 “ 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊))))
20	17, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	8, 9, 1, 3, 10, 4, 15	imasaddval 17467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
22	21	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)))
23	22	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑦)))
24	2, 14, 4, 15, 10, 13, 20, 23	isghmd 19171	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊)))
25	13, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   “ cima 5637  ⟶wf 6498  –onto→wfo 6500  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  0_gc0g 17373   “_s cimas 17439  Grpcgrp 18880   GrpHom cghm 19158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-0g 17375  df-imas 17443  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-ghm 19159

This theorem is referenced by:  imaslmhm  33456