Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngqiprngghm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngqiprngghm 46764
Description: 𝐹 is a homomorphism of the additive groups of non-unital rings. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngghm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼   π‘₯, 1   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem rngqiprngghm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
5 rng2idlring.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
6 rnggrp 46640 . . 3 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8 rng2idlring.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
9 rng2idlring.j . . . 4 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
10 rng2idlring.u . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
11 rng2idlring.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
12 rng2idlring.1 . . . 4 1 = (1rβ€˜π½)
13 rngqiprngim.g . . . 4 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
14 rngqiprngim.q . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
15 rngqiprngim.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
16 rngqiprngim.p . . . 4 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
175, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16rngqiprng 46761 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Rng)
18 rnggrp 46640 . . 3 (𝑃 ∈ Rng β†’ 𝑃 ∈ Grp)
1917, 18syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
20 rngqiprngim.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
215, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20rngqiprngimf 46762 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼))
225, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16rngqipbas 46760 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (𝐢 Γ— 𝐼))
2322feq3d 6701 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼)))
2421, 23mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
25 ringrng 46641 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
279, 26eqeltrrid 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
285, 8, 27rng2idlnsg 46742 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
2928, 1, 13, 14ecqusadd 46749 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ [(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)] ∼ = ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ))
305, 8, 9, 10, 1, 11, 12rngqiprngghmlem3 46754 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)) = (( 1 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏)))
3129, 30opeq12d 4880 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ⟨[(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏))⟩ = ⟨([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ), (( 1 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏))⟩)
32 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
33 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
3414ovexi 7439 . . . . . 6 𝑄 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑄 ∈ V)
3610adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
37 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
3813, 14, 1, 32quseccl0 19058 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ [π‘Ž] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
395, 37, 38syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ [π‘Ž] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
405, 8, 9, 10, 1, 11, 12rngqiprngghmlem1 46752 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π½))
4140adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π½))
42 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
4313, 14, 1, 32quseccl0 19058 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ [𝑏] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
445, 42, 43syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ [𝑏] ∼ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
455, 8, 9, 10, 1, 11, 12rngqiprngghmlem1 46752 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝑏) ∈ (Baseβ€˜π½))
4645adantrl 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· 𝑏) ∈ (Baseβ€˜π½))
4728, 1, 13, 14ecqusaddcl 46750 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
485, 8, 9, 10, 1, 11, 12rngqiprngghmlem2 46753 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏)) ∈ (Baseβ€˜π½))
49 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘„) = (+gβ€˜π‘„)
50 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π½) = (+gβ€˜π½)
5116, 32, 33, 35, 36, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 4xpsadd 17516 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩(+gβ€˜π‘ƒ)⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩) = ⟨([π‘Ž] ∼ (+gβ€˜π‘„)[𝑏] ∼ ), (( 1 Β· π‘Ž)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝑏))⟩)
5231, 51eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ⟨[(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏))⟩ = (⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩(+gβ€˜π‘ƒ)⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩))
535adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
5437adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
5542adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
561, 3rngacl 46647 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
5753, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡)
585, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20rngqiprngimfv 46763 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)) = ⟨[(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏))⟩)
5957, 58syldan 591 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)) = ⟨[(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)] ∼ , ( 1 Β· (π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏))⟩)
605, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20rngqiprngimfv 46763 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
6160adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = ⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩)
625, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20rngqiprngimfv 46763 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩)
6362adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩)
6461, 63oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘)) = (⟨[π‘Ž] ∼ , ( 1 Β· π‘Ž)⟩(+gβ€˜π‘ƒ)⟨[𝑏] ∼ , ( 1 Β· 𝑏)⟩))
6552, 59, 643eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž(+gβ€˜π‘…)𝑏)) = ((πΉβ€˜π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)(πΉβ€˜π‘)))
661, 2, 3, 4, 7, 19, 24, 65isghmd 19095 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194   /s cqus 17447   Γ—s cxps 17448  Grpcgrp 18815   ~QG cqg 18996   GrpHom cghm 19083  1rcur 19998  Ringcrg 20049  2Idealc2idl 20848  Rngcrng 46634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-2idl 20849  df-rng 46635  df-subrng 46709
This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1  46765  rngqiprngho  46768
  Copyright terms: Public domain W3C validator